Hahn-Banach 定理

Hahn-Banach 定理是线性泛函分析中一个最基本的定理之一，它在分析学有十分广泛的应用。它表明了在一定条件下，一个线性空间上的子空间中的线性泛函可以延拓到整个空间上去。它还可以告诉我们赋范线性空间上存在足够多的连续线性泛函以至于我们可以用一个线性泛函将不同的点区分出来。

凸集分离定理是该定理的几何形式。

内容

实 Hahn-Banach 定理

假设$X$是实数域上的线性空间，$X_0$是$X$的线性子空间。$p(x)$是$X$上的一次线性泛函，即它满足

1. 三角不等式：$\forall x, y \in X, p(x+y) \leqslant p(x) + p(y).$
2. 正齐次性：$\forall x \in X, \lambda > 0, p(\lambda x) = \lambda p(x).$

且$X_0$上存在一个实线性泛函$f_0$满足$\forall x \in X_0, f(x) \leqslant p(x).$那么$X$存在一个实线性泛函$f$满足

1. 受控条件：$\forall x \in X, f(x) \leqslant p(x).$
2. 延拓条件：$\forall x \in X_0, f(x) = f_0(x).$

这个定理告诉了我们在实线性空间上，一个子空间的线性泛函如果满足受控条件可以延拓到整个空间上去，但是要注意这种延拓不是唯一的。上述控制函数$p(x)$可以通过一个吸收凸子集确定的 Minkowski 泛函得到。

复 Hahn-Banach 定理

假设$X$是复数域上的线性空间，$X_0$是$X$的线性子空间。$p(x)$是$X$上的一半范数，即它满足

1. 非负性：$\forall x \in X, p(x) \geqslant 0.$
2. 三角不等式：$\forall x, y \in X, p(x+y) \leqslant p(x) + p(y).$
3. 齐次性：$\forall x \in X, \lambda \in C, p(\lambda x) = |\lambda| p(x).$

且$X_0$上存在一个复线性泛函$f_0$满足$\forall x \in X_0, |f(x)| \leqslant p(x).$那么$X$存在一个复线性泛函$f$满足

1. 受控条件：$\forall x \in X, |f(x)| \leqslant p(x).$
2. 延拓条件：$\forall x \in X_0, f(x) = f_0(x).$

同样延拓不是唯一的，这个定理是通过拆分考虑实部和虚部来应用实 Hahn-Banach 定理得到的。上述控制函数$p(x)$可以通过一个吸收均衡凸子集确定的 Minkowski 泛函得到。

Hahn-Banach 定理

在赋范线性空间中，Hahn-Banach 定理有更好的性质：假设$X$是赋范线性空间，$X_0$是$X$的子空间，$f_0$是$X_0$上的有界线性泛函，则在$X$上存在有界线性泛函$f$满足：

1. 保范条件：$\|f\| = \| f_0 \|_0.$
2. 延拓条件：$\forall x \in X_0, f(x) = f_0(x).$

一般我们称$f$是$f_0$的保范延拓。

证明

这个定理的证明依赖于 Zorn 引理，因此我们可以说泛函分析的框架建立在公理化集合论之上。

实 Hahn-Banach 定理

1. 构造集合$P$，它收集了满足如下条件的实值函数$h$：
   1. $h$的定义域$D(h)$是$X$的一个线性子空间，且对任意$x \in D(h)$有$h(x) \leqslant p(x)$；
   2. $h$是线性函数；
   3. $X_0$在$h$的定义域中，且$h$在$X_0$上等于$f_0$。

   显然这个集合是非空的，例如$f_0 \in P$，我们在这个集合上引入如下序关系：

   $$h_1 \leqslant h_2 \iff (D(h_1) \subset D(h_2) ~\And~ h_2|_{D(h_1)} = h_1)$$
   即$h_2$是$h_1$的一个延拓。

2. 集合$P$是可归纳的，这也就是说我们可以在这个集合上对一个元素不断地延拓，使得每一次的延拓都可以进行。
   实际上，如果我们选择$P$中的一个全序子集$Q = (h_i)_{i=1}^\infty$，那么定义$h$如下
   $$D(h) := \bigcup_{i} D(h_i), \quad h(x) = h_i(x), \forall x \in D(h_i).$$
   我们要验证
   1. $h$是良定义的，实际上注意到全序关系，如果$x \in D(h_i) \cap D(h_j) \ne \varnothing$，那么一定有$D(h_i) \subset D(h_j)$或$D(h_j) \subset D(h_i)$，不妨假设前者成立，这时$h_j$是$h_i$的一个延拓告诉我们$h_j|_{D(h_i)} = h_i$即$h_j(x) = h_i(x).$
   2. $h \in P$，下面我们逐一验证三个条件：
      1. 线性子空间的并未必是线性子空间，但是这里的$D(h_i)$必定是嵌套的，这样不妨假设$i <j$时$D(h_i) \leqslant D(h_j)$，于是$D(h) = \sum_{i=1}^\infty D(h_i) / D(h_{i-1})$就是线性子空间的直积，依然是线性子空间（$D(h_0) = \{ 0 \}$），对任意$x \in D(h)$则存在$i$使得$x \in D(h_i)$，于是$h(x) = h_i(x) \leqslant p(x).$
      2. 对任意$\alpha, \beta \in \R, x, y \in D(h)$，则存在$i_x, i_y$使得$x \in D(h_{i_x}), y \in D(h_{i_y})$，又因为$\alpha x + \beta y \in D(h)$于是存在$i$使得$\alpha x + \beta y \in D(h_{i_x}) + D(h_{i_y}) \subset D(h_i)$，且$h_i$是$h_{i_x}, h_{i_y}$的延拓，那么$h(\alpha x + \beta y) = h_i(\alpha x + \beta y) = \alpha h_i(x) + \beta h_i(y) = \alpha h(x) + \beta h(y).$
      3. 显然。
   3. $h$是$Q$的一个上界，这是显然的。
3. 进而那么运用 Zorn 引理可得$P$上有极大元$f$，如果我们可以证明$D(f) = X$，那么证明也就结束了。
4. 用反证法，假设$D(f) < X$，任取$x_0 \in X \setminus D(f)$，定义实值函数
   $$\begin{align} h: D(f) + \text{span}(x_0) & \to \R, \\ x + tx_0 & \mapsto f(x) + t\alpha. \end{align}$$
   这里$\alpha$是通过下面的分析合理选择出来的，目的是为了让$h \in P$（这样就说明延拓可以进行推出了矛盾），即要满足
   $$f(x) + t\alpha \leqslant p(x+t\alpha), \forall t \in \R, x \in D(f).$$
   注意到$p$的正齐次性，上式在$t=0$时显然成立，对$t > 0$以及$t < 0$两种情况不等式两端同时除以$t$便可得知这个不等式等价于
   $$\begin{cases} f(x) + \alpha \leqslant p(x+x_0), & x \in D(f) \\ f(y) - \alpha \leqslant p(y-x_0), & y \in D(f) \\ \end{cases}$$
   即$\alpha$必须且仅需满足
   $$f(y) - p(y-x_0) \leqslant \alpha \leqslant p(x+x_0) - f(x), \quad \forall x, y \in D(f).$$
   注意到$p$的三角不等式以及受控条件
   $$f(x) + f(y) = f(x+y) \leqslant p(x+y) \leqslant p(x+x_0) + p(y-x_0)$$
   这就说明$\alpha$是可以取到合适的值的。

推论

足够多的线性泛函

下面这个推论表明赋范线性空间上存在足够多的连续线性泛函以至于我们可以用一个线性泛函将不同的点区分出来。

假设有赋范线性空间$X$，对任意$x_1, x_2 \in X$且$x_1 \ne x_2$，那么存在$f \in X^*$使得$f(x_1) \ne f(x_2)$。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

令$x_0 = x_1 - x_2 \ne 0$，在$X_0 = \text{span}(x_0)$上定义实值线性泛函$f_0$如下：

$$f_0(\alpha x_0) = \alpha \| x_0 \|.$$

那么

1. $f_0(x_0) = \| x_0 \|.$
2. $\| f_0 \|_{X_0} = 1.$

由 Hahn-Banach 定理可得存在$X$上的连续线性泛函$f$使得

1. $f(\alpha x_0) = \alpha \| x_0 \|.$
2. $\| f \|_X = 1.$

那么$f(x_1) - f(x_2) = f(x_1 - x_2) = f(x_0) = \| x_0 \| \ne 0.$

这个推论也可以从凸集分离定理直接得到，因为单点集是闭凸集。这个推论的逆否命题也很常用：如果对任意$f \in X^*$都有$f(x) = 0$，那么$x = 0$。

几何形式

凸集分离定理是 Hahn-Banach 定理的几何形式。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.