Hadamard 不等式

在分析学中，Hadamard 不等式是一个有关一元实函数凸性的重要命题。关于代数中行列式的同名不等式，详见 Hadamard 不等式（行列式）。

内容

函数$f(x)$在开区间$(a,b)$上是凸函数当且仅当对于任意的$x_1 < x_2, x_1, x_2 \in (a, b)$，下面的连不等式中有一个不等号成立

$$f\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2} \right) \leqslant \dfrac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} f(x)\mathrm{d}x \leqslant \dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}.$$

另有结论：当上述两个不等号有一个恒为等号时，$f(x)$是$(a,b)$上的一次函数。

另外指出，下述条件只是凸函数的充分条件

$$f\left( \dfrac{x_1 + x_2}{2} \right) \leqslant \dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}.$$

当函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续时，上述条件就是充要条件了。