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Hölder 连续(赫尔德连续)是函数一致连续的特例。

定义[]

设定义在区间上的函数,如果都有

那么就称在区间上是阶 Hölder 连续的。

特性[]

定义中的阶数是衡量一个函数连续性质“好坏”的量,越大,连续性越好,且由较大的的函数连续性可以推出较小的的连续性,当时实际上就是区间上的有界函数,随着的增大,满足该性质的函数越来越少,当时就是 Lipschitz 连续的函数,当时只有常函数满足这样的性质。Hölder 连续的指数一定程度上表征了函数的分数阶导数之性质。

Hölder 连续一定是一致连续的,反之未必,例如考察区间上定义的如下函数

度量空间[]

可以将上述连续性定义推广到一般的度量空间里:假设是一个度量空间表示上的连续函数之全体,对,若存在常数使得

我们就称上 Hölder 连续。

根据 Arzela-Ascoli 定理,如果紧集,那么中全体 Hölder 连续的函数组成的集合在中是列紧的。

参见[]

参考资料

  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.
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