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Hölder 空间是一类由 Hölder 连续的函数组成的函数空间

Hölder 范数[]

假设是开集,常数,满足如下条件的函数

称为是 Hölder 连续的,这里不依赖于的选取,它只和的选择有关。

对于一个上有界的 Hölder 连续的函数,它有连续模

它是范数,但是当我们考察如下 Hölder 连续确定的最佳常数
时,它却不是范数,这是因为不满足正定性(任意常值函数的上式定义的最佳常数都是零)。如下改进后的实值非负函数
是范数,被称为阶 Hölder 范数。有了上述概念我们给出 Hölder 空间的定义:

Hölder 空间[]

给定开集、非负整数以及实数,定义 Hölder 空间定义为所有阶连续可微的,满足如下条件的函数全体

这里多重指标,每个求和对所有满足条件的指标进行,阶导数张量。

按照如上定义的构成 Banach 空间
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
不妨假设,任取 Cauchy 列,存在满足一致收敛于(即在中收敛)以及存在一个常数使得对任意的以及成立

那么对任意的,存在使得
因此,接下来我们要证明中收敛到。对任意的以及,由 Cauchy 准则我们可以找到一个常数使得对任意的都有
对任意的存在使得对任意的,因此对任意的我们有
我们就得到对任意的成立

内插不等式[]

结合上述半范数的定义,以及 Cauchy-Schwarz 不等式,我们有:

假设是单连通开集,,那么对任意都有

紧性定理[]

根据度量空间中的 Arzela-Ascoli 定理定理我们有

假设紧集,那么中列紧。

参考资料

  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.
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