Hölder 空间是一类由 Hölder 连续的函数组成的函数空间。
Hölder 范数[]
假设
是开集,常数
,满足如下条件的函数

称为是
Hölder 连续的,这里

不依赖于

的选取,它只和

的选择有关。
对于一个
上有界的 Hölder 连续的函数
,它有连续模

它是
范数,但是当我们考察如下 Hölder 连续确定的最佳常数
![{\displaystyle [u]_{C^{0,\alpha }({\overline {U}})}:=\sup _{\overset {\overset {x,y\in U}{x\neq y}}{}}{\dfrac {|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/a70e45ba477c5159060f11a828210dd8aea16adf)
时,它却不是范数,这是因为不满足正定性(任意常值函数的上式定义的最佳常数都是零)。如下改进后的实值非负函数
![{\displaystyle \|u\|_{C^{0,\alpha }({\overline {U}})}:=\|u\|_{C({\overline {U}})}+[u]_{C^{0,\alpha }({\overline {U}})}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/6484836617a5446f950b4e0ed608665c1ce04bd7)
是范数,被称为

阶 Hölder 范数。有了上述概念我们给出 Hölder 空间的定义:
Hölder 空间[]
给定开集
、非负整数
以及实数
,定义 Hölder 空间
定义为所有
阶连续可微的,满足如下条件的函数
全体
![{\displaystyle \|u\|_{C^{k,\alpha }({\overline {U}})}:=\sum _{|\beta |\leqslant k}\|D^{\beta }u\|_{C({\overline {U}})}+\sum _{|\beta |=k}[D^{\beta }u]_{C^{0,\alpha }({\overline {U}})}<+\infty .}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/64878c73e0b5cfa00ad45c55b87c1a5d0204395e)
这里
是多重指标,每个求和对所有满足条件的指标进行,
是
的
阶导数张量。

按照如上定义的

构成
Banach 空间。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
不妨假设

,任取 Cauchy 列

,存在

满足

一致收敛于

(即在

中收敛)以及存在一个常数

使得对任意的

以及

成立

那么对任意的

,存在

使得

因此

,接下来我们要证明

在

中收敛到

。对任意的

以及

,由 Cauchy 准则我们可以找到一个常数

使得对任意的

都有

对任意的

存在

使得

对任意的

或

,因此对任意的

我们有

令

我们就得到对任意的

成立

内插不等式[]
结合上述半范数的定义,以及 Cauchy-Schwarz 不等式,我们有:
假设

是单连通开集,

,那么对任意

都有

且

紧性定理[]
根据度量空间中的 Arzela-Ascoli 定理定理我们有
假设

是
紧集,那么

在

中列紧。
参考资料
- Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN
978-0-8218-4974-3
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