Hölder 不等式

Hölder 不等式是分析学中的一个重要不等式。

离散形式[]

\sum_{k=1}^n (a_k b_k) \leqslant \Bigg( \sum_{k=1}^n a_k^p \Bigg)^{\frac{1}{p}} \Bigg( \sum_{k=1}^n b_k^q \Bigg)^{\frac{1}{q}}

其中， ${1 \over p}+{1 \over q}=1,p\geqslant 1.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

要证原式，即证

\sum_{k=1}^n \Bigg( \dfrac{a_k}{ \displaystyle{ \sum _{k=1}^n a_k^p} } \cdot b_k \Bigg) \leqslant \Bigg( \sum_{k=1}^n a_k^p \Bigg)^{\frac{1}{p} - 1} \Bigg( \sum_{k=1}^n b_k^q \Bigg)^{\frac{1}{q}}

即证

\sum_{k=1}^n \Bigg( \dfrac{a_k^p}{ \displaystyle{ \sum _{k=1}^n a_k^{p} } } \cdot a_k^{1-p} b_k \Bigg) \leqslant \Bigg( \dfrac{ \displaystyle{\sum_{k=1}^n b_k^q} }{ \displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k^p} } \Bigg)^{\frac{1}{q}}

即证

\sum_{k=1}^n \left[ \dfrac{a_k^p}{ \displaystyle{ \sum _{k=1}^n a_k^{p} } } \Bigg( \dfrac{b_k^q}{a_k^p} \Bigg)^{\frac{1}{q}} \right] \leqslant \Bigg( \dfrac{ \displaystyle{\sum_{k=1}^n b_k^q} }{ \displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k^p} } \Bigg)^{\frac{1}{q}}

令

t_k = \dfrac{a_k^p}{ \displaystyle{ \sum _{k=1}^n a_k^{p} } }, \quad x_k = \dfrac{b_k^q}{a_k^p}

令

f(x) = x^{\frac{1}{p}}

，则它是凹函数。由凹函数的 Jensen 不等式，有

\sum_{k=1}^n \left[ \dfrac{a_k^p}{ \displaystyle{ \sum _{k=1}^n a_k^{p} } } \Bigg( \dfrac{b_k^q}{a_k^p} \Bigg)^{\frac{1}{q}} \right] \leqslant \Bigg( \sum _{k=1}^n \dfrac{a_k^p}{ \displaystyle{ \sum _{k=1}^n a_k^{p} } } \cdot \dfrac{b_k^q}{a_k^p} \Bigg)^{\frac{1}{q}} = \Bigg( \dfrac{ \displaystyle{\sum_{k=1}^n b_k^q} }{ \displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k^p} } \Bigg)^{\frac{1}{q}}.

概率论[]

E|XY| \leqslant (E|X|^p)^\frac{1}{p} (E|Y|^q)^\frac{1}{q}.

其中，

{1\over p} + {1\over q} = 1, p, q > 1.

积分形式[]

设函数 $f(x), g(x)$ 在 $U \subset \R^n$ 可积，那么

\int_U |f(x) g(x)| \mathrm{d}x \leqslant \left( \int_U |f(x)|^p \mathrm{d}x \right)^\frac{1}{p} \cdot \left( \int_U |g(x)|^q \mathrm{d}x \right)^\frac{1}{q}.

其中，

{1\over p} + {1\over q} = 1, p, q > 1.

上述不等式在 $L^p$ 空间中可以表述为

f \in L^p(E), g \in L^q(E), \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1, 1 \leqslant p \leqslant +\infty

，那么

\| fg \|_1 \leqslant \| f \|_p \cdot \| g \|_q.

当

0 < p < 1

而其它条件不变时，不等号反向。

可以将它稍做推广，得到

f \in L^p(E), g \in L^q(E), \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{r}, 1 \leqslant p < +\infty

，那么

\| fg \|_r \leqslant \| f \|_p \cdot \| g \|_q.

在另一方向上的推广：

f_i \in L^{p_i} (E), 1 \leqslant p_i < +\infty, i = 1,2,\cdots,m, \sum_{i=1}^m \dfrac{1}{p_i} = \dfrac{1}{q}

，那么

\left\| \prod_{i=1}^m f_i \right\|_q \leqslant \prod_{i=1}^m \| f \|_{p_i}.

另一个内插不等式见 Lp 空间。

逆形式[]

假设有

E \in \R^n

上的可测函数

f(x)

，那么

f(x) \in L^p(E)

当且仅当上确界

\sup \left\{ \int_E |f(x)| g(x) \mathrm{d}x: \forall x \in E, g(x) \geqslant 0, \| g \|_{p'} \leqslant 1 \right\}.

是有限的，且这个上确界在有限的前提下是

\| f \|_p.

其中

\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p'} = 1.

我们知道 $L^{p^\prime}(E)$ 的共轭空间是 $L^p(E)$ ，上述事实实际上就是在说 $f$ 作为 $L^{p^\prime}(E)$ 上的连续线性泛函时定义的算子范数就是 $\| f \|_p$ ，即

\| f \|_p = \sup_{\overset{g \in L^{p^\prime}(E)}{\overset{\| g \|_p \leqslant 1}{}}} \langle f, g \rangle.

另外注意到简单可积函数类以及具有紧支集的连续函数类在 $L^{p^\prime}(E)$ 中稠密。因此 $g$ 可以选择这两类特殊的函数，依然有等号成立。

假设

1 \leqslant q \leqslant p \leqslant +\infty

，

a

是

E

上的可测函数，如果对任意的

u \in L^p(E)

都有

T(u) := au \in L^q(E)

，那么

a \in L^r(E)

且

\dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{q} - \dfrac{1}{p}.