中文数学 Wiki
Advertisement

Hölder 不等式是分析学中的一个重要不等式。

离散形式[]

其中,

关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
要证原式,即证
即证
即证
,则它是凹函数。由凹函数的 Jensen 不等式,有

概率论[]

其中,

积分形式[]

设函数可积,那么

其中,

上述不等式在空间中可以表述为

,那么
而其它条件不变时,不等号反向。

可以将它稍做推广,得到

,那么

在另一方向上的推广:

,那么

另一个内插不等式见 Lp 空间

逆形式[]

假设有上的可测函数,那么当且仅当上确界

是有限的,且这个上确界在有限的前提下是其中

我们知道共轭空间,上述事实实际上就是在说作为上的连续线性泛函时定义的算子范数就是,即

另外注意到简单可积函数类以及具有紧支集的连续函数类在中稠密。因此可以选择这两类特殊的函数,依然有等号成立。

假设上的可测函数,如果对任意的都有,那么
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
  1. 时,我们断言闭算子。为此任取以及,我们要证明在一个子列的意义下我们可以假设分别几乎处处收敛到,那么我们就有
    于是由闭图像定理得到有界,即我们得到
    因此是连续线性的,由 Riesz 表示定理得到
  2. 时,取几乎处处为常数,我们就得到

参见[]

参考资料

  1. 周民强, 《实变函数论(第三版)》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
  2. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.
Advertisement