Green 公式

微积分中，Green 公式是一个将平面区域内的二重积分和区域边界的第二型曲线积分联系起来的一个公式。这个公式可以形象地理解为二元函数在平面积分上的牛顿莱布尼兹公式。

内容

设$C$是平面中的一条逐段光滑的简单闭曲线，它的内部记作$D$，$D$是一个单连通区域。二元函数$P(x, y), Q(x, y)$在$D + C$上连续且有连续偏导数，那么有如下公式成立 $$\iint_D \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \oint_C P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y.$$

特别地，取$P = -y, Q = x$，便得到区域$D$的面积的一个计算公式 $$S = \dfrac{1}{2} \oint_C x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x.$$

当处理一些平面闭曲线的曲线积分或二重积分时，我们可以利用上式转化为另一者积分简化计算。

路径无关性

如果$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$在平面单连通区域$D$上恒成立，那么在$D$内的任意闭曲线$C$都满足 $$\oint_C P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = 0.$$ 反之亦真，这表明，曲线积分和路径无关，只和曲线的起点和终点有关。

这时，实际上存在一个二元函数$F(x, y)$，使得$\mathrm{d}F(x, y) = P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y.$这个函数就称作$P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y$的一个原函数，原函数可以通过下式确定 $$F(x, y) = \int_{x_0}^x P(x, y_0) \mathrm{d}x + \int_{y_0}^y Q(x_0, y) \mathrm{d}y + C.$$ 其中，$C = F(x_0, y_0), (x_0, y_0) \in D.$

这样，我们可以利用原函数来计算曲线积分 $$\int_C P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = F(x, y)\Bigg|_A^B = F(B) - F(A).$$ 其中，$C$是从$A$到$B$且全含于$D$的有向曲线。

循环常数

当$D$不再是单连通区域，或者$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$在某些点不成立时，情况略有复杂，一般没有曲线和路径无关性，这时同起终点曲线积分和路径之间依旧存在某种关系。

对不满足$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$的那些点最割除处理，这样得到的区域$D'$内该条件恒成立，只是区域不再是单连通区域。除去的点被称为奇点，实际上，这时的曲线积分除了和起终点有关外，还和绕奇点所转的圈数有关，对于只有一个奇点的情形，我们可以定义循环常数$\omega$，它是逆时针环绕奇点一圈的闭曲线上的积分值，这样起终点相同的曲线上的积分值只相差一个整数倍的循环常数。

以逆时针方向为正，$D'$内的闭曲线$C$绕奇点的圈数是$n$时，对应的曲线积分 $$\oint_C P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = n \omega.$$ 可以将上述讨论推广到含有多个奇点的情形：以逆时针方向为正，$D'$内的闭曲线$C$绕循环常数分别为$\omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_m$的奇点$A_1, A_2, \cdots, A_m$的圈数分别是$n_1, n_2, \cdots, n_m$时，对应的曲线积分 $$\oint_C P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = \sum_{k=1}^m n_k \omega_k.$$

这类似于复变函数中多值函数的处理方法，实际上，在多连通区域$D'$上，$P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y$的原函数也正好是一个多值函数。

在多连通区域上的情形，曲线积分和路径无关当且仅当其中的所有奇点的循环常数都是零。

上下节

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参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.