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Gram-Schmidt 正交化是将一组 Euclid 空间上的线性无关的向量组借助投影的方法使之变成标准正交的向量组的过程。

标准正交向量组[]

在一个维 Euclid 空间上,如果一个向量组满足如下条件,就称这个向量组是标准正交的:

  1. 正交的:
  2. 标准的:

特别地,如果,那么就可做为这个 Euclid 空间的一组标准正交基底。

正交以及标准的概念是引入内积后得到的,因此它只能在内积空间上使用,不满足内积性质的线性空间是不能定义“标准”“正交”的概念的。另外,“正交”这一概念是直观几何中“垂直”概念的推广。

有限维内积空间可以和 Euclid 空间建立同构,它们的正交化都是相通的,正交化最多可以推广到可分的 Hilbert 空间之去。

标准正交化过程[]

Gram-Schmidt 正交化过程也称标准正交化过程,它是对一组 Euclid 空间上的线性无关的向量组变为标准正交组的过程,具体操作方法如下:

这样一来,就是从向量组构造的一组正交的向量组,之后,再将它们标准化:,得到的就是一组标准正交的向量组了,且这个向量组和原来的向量组是等价的。

在无穷维的可分 Hilbert 空间中,上述正交化过程依然可以操作并得到一组标准正交向量组,但是要得到完备的正交基还需要成立 Parseval 等式

上下节[]

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