Goldstine 定理

Goldstine 定理是泛函分析中的一个定理，它表明 Banach 空间$X$中的任意强闭集的典则映射象（在$X$嵌入到它的第二共轭空间$X^{**}$中的映射）是在*弱拓扑下稠密的集合。

内容

假设有 Banach 空间$X$，$J: X \to X^{**}$是典则映射，那么$J(B_X)$是$B_{X^{**}}$中的*弱稠密子集。

如果$X$自反，那么$J(B_X) = B_{X^{**}}$，上述定理表明，非自反的情况下$J(B_X)$有某种稠密性。

证明

我们要证明，在拓扑空间$(X^{**}, \sigma(X^{**}, X^*))$中，对任意点$\xi \in B_{X^{**}}$，以及它的任意一个邻域$V$，$V$中总含有$J(B_X)$中的点。注意到弱拓扑的邻域基性质，这里我们不妨取 $$V = \{ \eta \in E^{**}: |\langle \eta - \xi, f_i \rangle| \leqslant \varepsilon, f_1, f_2, \cdots, f_k \in X^* \},$$ 其中$f_i$给定，$\varepsilon > 0$给定。我们需要找到某些$x \in B_X$使得 $$|\langle f_i, x \rangle - \langle \xi, f_i \rangle| < \varepsilon, \quad \forall i.$$ 令$\gamma_i = \langle \xi, f_i \rangle|.$然后使用 Helly 引理，我们只需要证明 $$\left|\sum_{i=1}^k \beta_i \gamma_i\right| \leqslant \left\|\sum_{i=1}^k \beta_i f_i \right\|,$$ 注意到 $$\left|\sum_{i=1}^k \beta_i \gamma_i\right| = \left| \left\langle \xi, \sum_{i=1}^k \beta_i, f_i \right\rangle \right| \leqslant \| \xi \| \left\|\sum_{i=1}^k \beta_i f_i\right\| \leqslant \left\|\sum_{i=1}^k \beta_i f_i\right\|.$$ 这就证明了定理。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.