Gelfand 引理

Gelfand 引理是线性泛函分析里的一个引理。

内容

假设$X$是 Banach 空间，函数$p: X \to \R$满足：

1. （非负性）$\forall x \in X, p(x) \geqslant 0.$
2. （正齐次性）$\forall \lambda > 0, \forall x \in X, p(\lambda x) = \lambda p(x).$
3. （三角不等式）$\forall x, y \in X, p(x+y) \leqslant p(x) + p(y).$
4. （下半连续性）如果$\{ x_n \}_{n=1}^\infty \subset X, x_n \to x$，那么$\liminf_{n \to \infty} p(x_n) \geqslant p(x).$

那么存在$M > 0$使得$p(x) \leqslant M \| x \|, \forall x \in X.$

显然$X$上的范数就满足上面的条件，$X$上的任意半范数也满足上面的条件。

定理的条件中，我们没有假设$p(0) = 0$，但是这个性质从上面可以推出，实际上，对任意$x \in X \setminus \{ 0 \}$，令$x_n = \dfrac{x}{n} \to 0 \in X$，那么由下连续性和齐次性 $$p(0) \leqslant \liminf_{n \to \infty} p\!\left(\frac{x}{n} \right) = \liminf_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} p(x) = 0.$$

证明

用 Baire 纲定理

令 $$X_n := \{ x \in X: p(x) \leqslant n \}.$$ 由$p$的下半连续性可知$X_n$是闭集，且$X = \bigcup_{n=1}^\infty X_n$，由 Baire 定理可得存在一个$n_0 \in \N^+$使得$X_{n_0}$有内点$x_0 \in X$，于是在$x_0$的一个邻域$U$中$p(x) \leqslant n_0$。由次可加函数的性质，$p$在原点的一个邻域中有界，不妨假设 $$p(x) \leqslant M, \forall x \in B(0, r).$$ 于是由正齐次性 $$p(x) \leqslant \dfrac{M}{r} \| x \|.$$

用等价范数定理

受半范数加上范数是一个新的范数的启发，上面对$p$的前三条要求可以决定出一个类似半范数（并不完全是，因为第二条不是对称的正齐次性，即可能没有$p(-x) = p(x)$）的函数，然后为了恢复出对称性，我们可以先在单位球面$\partial B(0, 1)$上给出新定义的范数的值： $$\| x \|_p := 1 + \sup_{\alpha \in D^1} p(\alpha x), \quad \text{when } x \in \partial B(0, 1).$$ 因此我们可以合理地用齐次延拓定义 $$\| x \|_p := \| x \| \left\| \dfrac{x}{\| x \|} \right\|_p, \quad \text{when } x \in X \setminus \{ 0 \}.$$ 最后补零$\| 0 \|_p := 0.$这里$D^1$是复平面上的单位圆周。我们要证明在上面构造出的范数$\| \cdot \|_p$使得$(X, \| \cdot \|_p)$是完备的，然后用等价范数定理即可得到结果。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.