Gauss 曲率

曲面的 Gauss 曲率（高斯曲率）是曲面的内蕴性质，它完全由曲面的自身形状决定，与所选择的参数表达和坐标系无关。

三维曲面

说到 Gauss 曲率一般指三维曲面的 Gauss 曲率，假设$S$是$\mathbb R^{3}$中的曲面，记其切平面上的 Weingarten 变换为$W$，其特征值为$k_1, k_2$，那么称$k_1 k_2$为该曲面的 Gauss 曲率，它等于$|W|.$

该曲率由曲面的第一基本形式完全决定，因此是内蕴性质：假设曲面$S: \boldsymbol{r}(u, v)$的第一基本形式为

$$(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{r}) = E\mathrm{d}u^2 + 2F \mathrm{d}u \mathrm{d}v + G \mathrm{d}v^2.$$

那么 Gauss 曲率$K$的表达式是

$$K = \dfrac{1}{(EG - F^2)^2} \left\{ \begin{vmatrix} -\dfrac{G_{uu}}{2}+F_{uv}-\dfrac{E_{vv}}{2} & \dfrac{E_u}{2} & F_u - \dfrac{E_v}{2} \\ F_v - \dfrac{G_u}{2} & E & F \\ \dfrac{G_v}{2} & F & G \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & \dfrac{E_v}{2} & \dfrac{G_u}{2} \\ \dfrac{E_v}{2} & E & F \\ \dfrac{G_u}{2} & F & G \end{vmatrix} \right\}.$$

而如果还已知曲面的第二基本形式

$$(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{n}) = L\mathrm{d}u^2 + 2M \mathrm{d}u \mathrm{d}v + N \mathrm{d}v^2.$$

那么 Gauss 曲率$K$的表达式是

$$K = \dfrac{LN - M^2}{EG - F^2}.$$

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.