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微积分中,Gauss 公式(高斯公式)是将空间某种区域内的三重积分和区域边界的第二型曲面积分联系起来的一个公式。

内容[]

设有三维空间中的逐块光滑的简单闭曲面围成的二维单连通区域(区域内的任何一个闭曲面都可以在不经过区域外的点的情况下连续收缩为区域内的一点)三元函数连续且有对各变元的一阶连续偏导数,那么有下述公式成立

规定闭曲面的外侧为正方向。

如果取,得到计算空间区域的体积的一个公式

Gauss 定理[]

该定理称为 Gauss-Green 定理,基本内容为

假设是有界闭的单连通区域,它的边界记为,以下的多元函数上的连续可微函数。的法向量。它有很多其他的表现形式,分别有不同的名字。

  1. 高维形式的分部积分:
  2. 高维的 Gauss 公式:在上式中令则有
    向量形式为
  3. 高维的 Green 公式:注意到 Laplace 算符,于是取上式#A1,就得到
    一般地,
  4. 上式的再推广:

在场论中有一个散度定理,是如上第二种情形的三维特例。

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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