Gauss-Bonnet 公式

Gauss-Bonnet 公式（高斯-博內公式）是微分流形中關於流形整體性質的一個公式，可以看作是是 Euclid 空間中 Stokes 公式在微分流形上的推廣。

三維情形

三維空間中的二維曲面上，局部的 Gauss-Bonnet 公式是

假設$D$是曲面$S$上的一個單連通區域，它的邊界是分段光滑的，假設$\alpha_{i}$是$\partial D$的頂點的外角，那麼成立$$\int_D K \mathrm{d}A + \int_{\partial D} k_g \mathrm{d}s + \sum \alpha_i = 2\pi.$$

這裏，$K$是 Gauss 曲率，$k_g$是測地曲率，$\mathrm{d}A$是曲面的面積元。

這個定理的一些推論：

1. 曲面$S$上測地三角形（即$\partial D$是有三個頂點的由三條測地線組成的曲面塊）的內角和：
   1. 當$S$是平面時，內角和為$\pi.$
   2. 當$S$是常正 Gauss 曲率曲面（例如球面）時，內角和大於$\pi.$
   3. 當$S$是常負 Gauss 曲率曲面（例如雙曲拋物面）時，內角和小於$\pi.$

三維空間中的二維曲面上，整體的 Gauss-Bonnet 公式是

假設$D$是定向曲面$S$上的一個區域，它的邊界是分段光滑的，假設$\alpha_{i}$是$\partial D$的頂點的外角，那麼成立$$\int_D K \mathrm{d}A + \int_{\partial D} k_g \mathrm{d}s + \sum \alpha_i = 2\chi(D).$$

這裏，$\chi(D)$是該區域$D$的 Euler 示性數。

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.