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Gauss-Bonnet 公式(高斯-博内公式)是微分流形中关于流形整体性质的一个公式,可以看作是是 Euclid 空间Stokes 公式在微分流形上的推广。

三维情形[]

三维空间中的二维曲面上,局部的 Gauss-Bonnet 公式是

假设曲面上的一个单连通区域,它的边界是分段光滑的,假设的顶点的外角,那么成立

这里,Gauss 曲率测地曲率是曲面的面积元。

这个定理的一些推论:

  1. 曲面上测地三角形(即是有三个顶点的由三条测地线组成的曲面块)的内角和:
    1. 是平面时,内角和为
    2. 是常正 Gauss 曲率曲面(例如球面)时,内角和大于
    3. 是常负 Gauss 曲率曲面(例如双曲抛物面)时,内角和小于

三维空间中的二维曲面上,整体的 Gauss-Bonnet 公式是

假设是定向曲面上的一个区域,它的边界是分段光滑的,假设的顶点的外角,那么成立

这里,是该区域Euler 示性数

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.
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