Gauss-Bonnet 公式(高斯-博内公式)是微分流形中关于流形整体性质的一个公式,可以看作是是 Euclid 空间中 Stokes 公式在微分流形上的推广。
三维情形[]
三维空间中的二维曲面上,局部的 Gauss-Bonnet 公式是
- 假设是曲面上的一个单连通区域,它的边界是分段光滑的,假设是的顶点的外角,那么成立
这个定理的一些推论:
- 曲面上测地三角形(即是有三个顶点的由三条测地线组成的曲面块)的内角和:
三维空间中的二维曲面上,整体的 Gauss-Bonnet 公式是
- 假设是定向曲面上的一个区域,它的边界是分段光滑的,假设是的顶点的外角,那么成立
这里,是该区域的 Euler 示性数。
参考资料
- 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN
978-7-0405-6950-6
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