Fuchs 型方程

在常微分方程中，Fuchs 型方程是所有奇点都是正则奇点的二阶线性常微分方程。特别是有三个或五个奇点的方程，特例有超几何方程和 Legendre 方程。

一般情形

假设$a_{r},r=1,2,\cdots ,n$和$\infty$是方程 $$w''+p(z)w'+q(z)w=0,$$ 的正则奇点，除此之外方程没有其它奇点，容易证明$p(z), q(z)$具有形式 $$p(z)=\sum _{r=1}^{n}{\dfrac {A_{r}}{z-z_{r}}},\quad q(z)=\sum _{r=1}^{n}\left({\dfrac {B_{r}}{(z-a_{r})^{2}}}+{\dfrac {C_{r}}{z-a_{r}}}\right).$$ 且 $$\sum _{r=1}^{n}C_{r}=0.$$ 在$a_r$处的指标方程为 $$\rho ^{2}+(A_{r}-1)\rho +B_{r}=0.$$ 在$z_0 = \infty$处，做变数替换$t = \dfrac{1}{z}$可得变换之后的方程在$t=0$处的指标方程为 $$\rho ^{2}+(1-\sum _{r=1}^{n}A_{r})\rho +\sum _{r=1}^{n}(B_{r}+a_{r}C_{r})=0.$$ 由此可得指标方程的所有根之和为$n-1.$

广义 Lame 方程

设奇点$a_{r},r=1,2,3,4,\infty$是正则的且方程#A1无其它奇点，用$\alpha _{r},\beta _{r},r=1,2,3,4$代表$a_r$对应的指标，用$\mu _{1},\mu _{2}$代表$\infty$的指标，则方程#A1可以改写为 $${\dfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left(\sum _{r=1}^{4}{\dfrac {1-\alpha _{r}-\beta _{r}}{z-a_{r}}}\right){\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}+\left(\sum _{r=1}^{4}{\dfrac {\alpha _{r}\beta _{r}}{(z-a_{r})^{2}}}+{\dfrac {Az^{2}+2Bz+C}{\prod _{r=1}^{4}(z-a_{r})}}\right)w=0.$$ 其中 $$A=-\sum _{r=1}^{4}C_{r}\left(\sum _{k=1}^{4}a_{k}-a_{r}\right)=\sum _{r=1}^{4}a_{r}C_{r}=\mu _{1}\mu _{2}-\sum _{r=1}^{4}\alpha _{r}\beta _{r},$$ 而$B, C$是待定的常数，不同的取值对应了不同形式的方程。

上述方程的一个重要的特殊形式为每一个奇点的两个指标都相差$\dfrac{1}{2}$，假设$\beta _{r}=\alpha _{r}+{\dfrac {1}{2}},\mu _{2}=\mu _{1}+{\dfrac {1}{2}}.$这样简化后的方程就被称为广义 Lame 方程。

合流形式

把一个微分方程的两个或多个奇点相合形成的新的微分方程，称为原来方程的合流形式。例如，将方程#A2中$a_1,a_2$两个奇点相合$a_1=a_2$，那么新奇点$a=a_{1}=a_{2}$依然是正则奇点且它对应的指标$\alpha, \beta$满足 $${\begin{aligned}\alpha +\beta &=2(\alpha _{1}+\alpha _{2}),\\\alpha \beta &=\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+{\dfrac {1}{2}}(\alpha _{1}+\alpha _{2})+{\dfrac {A\alpha _{1}^{2}+2B\alpha _{1}+C}{(a-a_{3})(a-a_{4})}}.\end{aligned}}$$ 需要注意的是，多于两个正则奇点相合的结果可能不再是正则奇点。

由此，对奇点的不同合流方式可以依据三个法则把所有这类广义 Lame 方程划分为以下六种类型。

类型	指标相差$\dfrac{1}{2}$的奇点数目	其它正则奇点的数目	非正则奇点的数目
Lame 方程	3	1	0
Mathieu 方程	2	0	1
Legendre 方程	1	2	0
Bessel 方程	0	1	1
Weber 方程	1	0	1

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.