Fubini 定理

在实变函数论中，Fubini 定理是一个揭示重积分和累次积分关系的定理，它也是积分能够交换次序的依据。

内容

设有定义在$\R^p \times \R^q$上的可积函数$f(x, y)$，其中，$x \in \R^p, y \in \R^q$，我们有

1. 对于$\R^p$上几乎处处的$x$，$f(x, y)$关于$y$在$\R^q$上 Lebesgue 可积。
2. 积分
   $$\int_{\R^q} f(x, y) \mathrm{d}y$$
   是$\R^p$上的可积函数。
3. 有如下交换次序和重积分转化为累次积分的定理
   $$\int_{\R^{p+q}} f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_{\R^p} \mathrm{d}x \int_{\R^q} f(x, y) \mathrm{d}y = \int_{\R^q} \mathrm{d}y \int_{\R^p} f(x, y) \mathrm{d}x.$$

当$f(x, y)$在$\R^{p+q}$上非负可测时对应的定理是 Tonelli 定理。Fubini 定理就是通过先证明非负情形的 Tonelli 定理，然后再注意到一个一般的可积函数可以分解为两个非负函数的差这一点给出证明的。

评注

1. Fubini 定理成立的条件十分宽松——仅需要求$f$关于两个变元在乘积积分区域上可积就行了，但是这个可积性质不能再减弱。如果$f$仅仅是可测的，那么结论未必成立，例如定义$I\times I=[0,1]\times [0,1]$上的可测函数
   $$f(x,y)={\begin{cases}a_{k},&(x,y)\in A_{k}=[1-2^{-k+1},1-2^{-k})\times [1-2^{-k+1},1-2^{-k}),\\b_{k},&(x,y)\in B_{k}=[1-2^{-k},1-2^{-k-1})\times [1-2^{-k+1},1-2^{-k}),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$
   其中$a_{1}=2,b_{k}=-2a_{k},a_{k+1}=2^{k+1}-2b_{k},k=1,2,\cdots .$于是
   $$0=\int _{I}\int _{I}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\neq \int _{I}\int _{I}f(x,y)\mathrm {d} y\mathrm {d} x=1.$$
2. 这个定理的逆命题一般而言未必成立。例如依旧考察上面定义的函数$f:I\times I\to \mathbb {R}$，我们可以得到$a_{k}=2^{k}(2^{k}-1)$，定义$g(x,y)=f(x,y)+f(y,x),(x,y)\in I\times I$，于是
   $$\int _{\bigcup _{k\geqslant 1}A_{k}}g(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=+\infty ,\quad \int _{\bigcup _{k\geqslant 1}B_{k}}g(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=-\infty .$$
   但是，如果我们假设$f$非负可测且累次积分中有一个存在，那么重积分也就存在且另一个累次积分也存在，这三个积分都是相等的。
3. 在推广的过程中，上述定理可以在一般的 σ-有限的测度空间上建立，但是这个时候 σ-有限的条件不能去掉，例如考察$I = [0, 1]$，测度空间$(I,{\mathcal {B}}_{I},m)$和$(I,{\mathcal {B}}_{I},\mu )$，其中$m$是$I$上的 Lebesgue 测度而$\mu$是$I$上的计数测度，定义被积函数是$D=\{(x,x):x\in I\}$上的示性函数$\chi _{D}$，那么
   $$0=\int _{I}\int _{I}\chi _{D}\mathrm {d} m\mathrm {d} \mu \neq \int _{I}\int _{I}\chi _{D}\mathrm {d} \mu \mathrm {d} m=1.$$

推广

这个结论在一般的 Radon 测度上也是成立的，详见乘积测度。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
2. 汪林, 《实分析中的反例》, 现代数学基础第39卷, 高等教育出版社, 2013-11, ISBN 978-7-0403-8651-6.
3. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.