Frullani 积分

Frullani 积分（傅茹兰尼积分）是一种特殊类型的无穷限积分，常用于某些积分的计算中。

概念

设函数$f(x)$在$[0, + \infty)$上连续，且$\lim_{x \to +\infty} f(x) = c \in \R.$则对任意实数$a, b$成立 $$\int_0^{+\infty} \dfrac{f(ax) - f(bx)}{x} \mathrm{d}x = [f(0) - c] \ln \dfrac{b}{a}.$$

如果将条件改为积分$\int_a^{+\infty} \dfrac{f(x)}{x} \mathrm{d}x$对某个$a>0$收敛，则有 $$\int_0^{+\infty} \dfrac{f(ax) - f(bx)}{x} \mathrm{d}x = f(0) \ln \dfrac{b}{a}.$$

上述条件要求$f(x)$在$x = 0$处连续，也可减弱至$\lim_{x \to 0^+} f(x)$存在，并将等式右侧的相应$f(0)$做修改即可。

参见

• 广义积分
• Euler 积分
• Dirichlet 积分
• Laplace 积分

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（中）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6806-5.
2. 裴礼文, 《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN 978-7-0401-8454-9.