Frobenius 标准形

Frobenius 标准形又称有理标准形，它是矩阵相似的一个相似标准型，与矩阵的不变因子直接联系。

友阵

设$\mathbb{P}$上的一个多项式 $$f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$ 则下列矩阵 $$F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix}$$ 的特征多项式也就是$f(x)$，我们将$F$称为多项式$f(x)$的友阵。

任何首一的多项式都是其友阵的特征多项式。

Frobenius 标准形

设$A$的不变因子为 $$1, 1, \cdots, d_{k+1} (\lambda), d_{k+2} (\lambda), \cdots, d_n (\lambda)$$ 那么它总相似于如下形式的分块矩阵 $$F = \begin{pmatrix} F_{k+1} \\ & F_{k+2} \\ && \ddots \\ &&& F_{n} \end{pmatrix}$$ 其中$F_i$是对应于$d_i (\lambda)$的友阵，$i = k+1, k+2, \cdots, n$，每个$F_i$也称为是对应于$d_i (\lambda)$的 Frobenius 块，$F$称为$A$的 Frobenius 标准形。

例子

例如，六阶方阵$A$的不变因子分别是 $$1, 1, 1, \lambda-1, \lambda^2-1, \lambda^3 + \lambda^2 - \lambda - 1$$ 则它的 Frobenius 标准形是 $$F = \begin{pmatrix} F_4 \\ & F_5 \\ && \ddots \\ &&& F_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$

上下节

• 上一节：数字矩阵的特征矩阵
• 下一节：Jacobson 标准形

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.