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Fresnel 積分(菲涅爾積分)是 Fresnel 在研究光的折射的問題中提出的一個積分,後來由數學家 Poisson 給出完美解決。現代數學中的經典計算方法由留數理論給出。

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利用留數理論的證明思路是作輔助函數考察積分

積分路徑是以線段、線段以及圓弧的扇形周界,然後令

無窮限積分是收斂的,我們知道正弦或餘弦的無窮限積分並不收斂,但將自變量平方後再取正弦就條件收斂了,其影響因素在於該函數的正負相消性以及隨著自變量的增大,函數震盪越來越劇烈,使得周期趨於零,不像正弦函數的固定周期震盪那樣,該函數周期趨於零直接影響了函數值的積累量逐漸減少,直到可能存在有限極限。

推廣[]

設常數,那麼以下兩個無窮限積分條件收斂且有對應值:

例如,下設,那麼有

參考資料

  1. 裴禮文, 《數學分析中的典型問題與方法(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN 978-7-0401-8454-9.
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