Fresnel 积分

Fresnel 积分（菲涅尔积分）是 Fresnel 在研究光的折射的问题中提出的一个积分，后来由数学家 Poisson 给出完美解决。现代数学中的经典计算方法由留数理论给出。

内容

$$\int_0^{+\infty} \sin (x^2) \mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} \cos (x^2) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.$$

利用留数理论的证明思路是作辅助函数$f(z) = \text{e}^{-z^2}.$考察积分

$$\int_{C_R} \text{e}^{-z^2} \mathrm{d}z$$

积分路径是以线段$[0, R]$、线段$\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1+\text{i})t, t \in [0, R]$以及圆弧$z = R\text{e}^{\text{i}\theta}, \theta \in [0, \dfrac{\pi}{4}]$的扇形周界，然后令$R \to +\infty.$

该无穷限积分是收敛的，我们知道正弦或余弦的无穷限积分并不收敛，但将自变量平方后再取正弦就条件收敛了，其影响因素在于该函数的正负相消性以及随着自变量的增大，函数震荡越来越剧烈，使得周期趋于零，不像正弦函数的固定周期震荡那样，该函数周期趋于零直接影响了函数值的积累量逐渐减少，直到可能存在有限极限。

推广

设常数$k > 1$，那么以下两个无穷限积分条件收敛且有对应值：

$$\begin{align} \int_0^{+\infty} \sin (x^k) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{k} \Gamma\!\left( \dfrac{1}{k} \right) \sin \dfrac{\pi}{2k}, \\ \int_0^{+\infty} \cos (x^k) \mathrm{d}x = \dfrac{1}{k} \Gamma\!\left( \dfrac{1}{k} \right) \cos \dfrac{\pi}{2k}. \end{align}$$

例如，下设$\alpha \in (0, 1)$，那么有

$$\begin{align} \int_0^{+\infty} x^{\alpha-1} \sin x \mathrm{d}x & = \dfrac{1}{\alpha} \int_0^{+\infty} \sin x \mathrm{d}x^\alpha, \\ & \overset{t = x^\alpha}{=\!=\!=} \dfrac{1}{\alpha} \int_0^{+\infty} \sin (t^\frac{1}{\alpha}) \mathrm{d}t \\ & = \Gamma(\alpha) \sin \dfrac{\alpha\pi}{2}. \end{align}$$

参考资料

1. 裴礼文, 《数学分析中的典型问题与方法（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN 978-7-0401-8454-9.