Frenet 标架

Frenet 标架是描述空间中的光滑流形的一种活动正交标架，尤其是对空间曲线而言，它的 Frenet 标架 可以直接反映曲线的内蕴量，这个页面中我们主要以曲线为例介绍曲线的 Frenet 标架。

标架建立

假设有$\R^n$中的弧长参数化的正则曲线$\boldsymbol{r}(s)$（$n>1$），即满足

1. $\boldsymbol{r}$的每个分量都是光滑函数;
2. $\{{\boldsymbol {r}}'(s),{\boldsymbol {r}}''(s),\cdots ,{\boldsymbol {r}}^{(n-1)}(s)\}$线性无关。

先来看各种曲率的概念。如果是二维空间中的曲线，那么讨论十分简单，我们只需要定义相对曲率和切向量以及法向量即可，后者组成右手系，因此我们主要考虑$n>2$的情况。这个时候用归纳定义给出第一曲率到第$n-2$曲率的定义。

1. 归纳奠基：我们可以定义$${\boldsymbol {n_{0}}}(s)={\boldsymbol {t}}(s)={\boldsymbol {r}}'(s)$$为这条曲线的切向量或第零法向量，根据弧长参数的意义，这个向量是单位向量，因此我们可以定义${\boldsymbol {t}}'(s)$是第一曲率向量，它的模长称为第一曲率$\kappa _{1}(s)$。
2. 归纳假设：如果我们已经定义了第$k$曲率$\kappa _{k}$以及第$k - 1$法向量${\boldsymbol {n_{k-1}}}(s)$，其中$0<k<n-2$，那么按照下面的方式定义第$k+1$曲率：
   1. 如果$\kappa _{k}(s)=0$，那么在$s$处定义曲率的过程停止。
   2. 如果$\kappa _{k}(s)\neq 0$，那么先定义$${\boldsymbol {n_{k}}}(s)={\dfrac {1}{\kappa _{k}(s)}}{\boldsymbol {n_{k-1}}}'(s)$$为这条曲线的第$k$法向量，它也是单位向量，同时定义${\boldsymbol {n_{k}}}'(s)$是第$k+1$曲率向量，它的模长称为第$k+1$曲率$\kappa _{k+1}(s)$。

这也就是说，对任意$0<k<n-1$，只要$\kappa _{k}\neq 0$，我们定义的${\boldsymbol {n_{k}}}$就是单位向量，进而$(|{\boldsymbol {n_{k}}}|^{2})'=2\langle {\boldsymbol {n_{k}}},{\boldsymbol {n_{k}}}'\rangle =0.$这也就表示${\boldsymbol {n_{k}}}$和${\boldsymbol {n_{k+1}}}$正交。由于$\{{\boldsymbol {n_{0}}},{\boldsymbol {n_{1}}},\cdots ,{\boldsymbol {n_{k}}}\}$可被$\{{\boldsymbol {r}}',{\boldsymbol {r}}'',\cdots ,{\boldsymbol {r}}^{(k+1)}\}$线性表出，因此$\{{\boldsymbol {n_{0}}},{\boldsymbol {n_{1}}},\cdots ,{\boldsymbol {n_{k}}}\}$线性无关，可对其作 Gram-Schmidt 正交化过程得到单位正交组。

最后，取$k=n-2$我们就得到了$\R^n$中的单位正交组$\{{\boldsymbol {n_{0}}},{\boldsymbol {n_{1}}},\cdots ,{\boldsymbol {n_{n-2}}}\}$，为了建立一个正交活动标架，我们还需要最后一个向量，这个向量${\boldsymbol {n_{n-1}}}$通过前$n-1$个单位正交向量作向量积得到，即 $${\boldsymbol {n_{n-1}}}={\boldsymbol {n_{0}}}\times {\boldsymbol {n_{1}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {n_{n-2}}}.$$

标架矩阵

我们假设$\R^n$中弧长参数化的正则曲线$\boldsymbol{r}(s)$的曲率都不是零，$\{{\boldsymbol {n_{0}}},{\boldsymbol {n_{1}}},\cdots ,{\boldsymbol {n_{n-1}}}\}$是它的 Frenet 标架，我们称矩阵${\boldsymbol {A}}=({\boldsymbol {n_{i-1}}}',{\boldsymbol {n_{j-1}}})_{n\times n}$为$\boldsymbol{r}$的 Frenet 标架矩阵。我们可以知道它是反对称的三对角矩阵，这是因为：

1. 由$|{\boldsymbol {n}}_{k}|=1$就得到对角线元素为零，即$\langle {\boldsymbol {n}}_{k}',{\boldsymbol {n}}_{k}\rangle =0$
2. 由$\langle {\boldsymbol {n_{i}}},{\boldsymbol {n_{j}}}\rangle =0$就得到$\langle {\boldsymbol {n_{i}}}',{\boldsymbol {n_{j}}}\rangle =-\langle {\boldsymbol {n_{j}}}',{\boldsymbol {n_{i}}}\rangle$对任意$i\neq j.$
3. 由 Gram-Schmidt 正交化过程可知该矩阵为上三角矩阵。

因此，我们就有 $${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {n_{0}}}\\{\boldsymbol {n_{1}}}\\{\boldsymbol {n_{2}}}\\\vdots \\{\boldsymbol {n_{n-1}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa _{1}&0&\cdots &0\\-\kappa _{1}&0&\kappa _{2}&\cdots &0\\0&-\kappa _{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {n_{0}}}\\{\boldsymbol {n_{1}}}\\{\boldsymbol {n_{2}}}\\\vdots \\{\boldsymbol {n_{n-1}}}\end{pmatrix}}$$ 当然，这里$\kappa _{k}$是正交化之后的曲率，它们满足 $$\kappa _{k}=\langle {\boldsymbol {n_{k}}},{\boldsymbol {n_{k-1}}}'\rangle .$$ 进一步可以证明前$n-2$个曲率都是恒正的，只有第$n-1$曲率有正负之分。另外，如果第$k$曲率为零，那么上述过程就已经在$k - 1$处停止了，这也就是说曲线已经不是正则的了（正则性的第二个条件不满足），因此这个曲线可以被放到$\mathbb{R}^k$中去。