Frechet 空間

在線性泛函中，Frechet 空間是一個在線性空間中引入向量「距離」概念而形成的空間，它是現代概率論以及隨機分析中很重要的空間。

准模[]

假設在線性空間 $(V; +, \cdot, \mathbb{F})$ 中定義一個滿足下列條件的函數 $p(x)$ ：

非負性： $p(x) \geqslant 0, \forall x \in V$ 且 $p(x) = 0 \iff x = 0.$
三角不等式： $p(x+y) \leqslant p(x) + p(y), \forall x, y \in V.$
對稱性： $p(-x) = p(x).$
對零元的連續性： $\lim_{\alpha_n \to 0} p(\alpha_n x) = 0; \lim_{x_n \to 0} (\alpha x_n) = 0.$

我們就稱其為 $V$ 上的一個准模，按照定義範數是准模。

Frechet 空間[]

如果上述空間 $V$ 按照下式來定義極限運算 $p(x_n - x) = 0.$ 我們就說該賦准模的線性空間是一個 $F^*$ 空間，完備的 $F^*$ 空間稱為 Frechet 空間。

賦范線性空間和連續函數空間都是 $F^*$ 空間，Banach 空間是 Frechet 空間。

在 Frechet 空間中，線性組合的極限 $\lim_{n \to \infty} (\alpha_n x_n + \beta_n y_n)$ 即使有 $\alpha_n, \beta_n x_n, y_n$ 都收斂到 $\alpha x + \beta y$ 也不一定等於極限的線性組合 $\alpha x + \beta y$ 。S 空間即是一個非賦范線性空間的 Frechet 空間。

參考資料

張恭慶, 林源渠, 《泛函分析講義（上冊）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.

函數空間（學科代碼：1105730，GB/T 13745—2009）
距離空間	度量空間 ▪ 完備度量空間 ▪ 完備化空間 ▪ 列緊空間 ▪ Hausdorff 定理 ▪ Arzela-Ascoli 定理
函數空間	准範數 ▪ 半範數 ▪ Banach 函數空間
常見例子	連續函數空間 ▪ 可積函數空間 ▪ Lp 空間 ▪ Lorentz 空間 ▪ 解析函數空間 ▪ S 空間 ▪ Lipschitz 空間 ▪ Hölder 空間 ▪ Sobolev 空間 ▪ 齊次 Sobolev 空間 ▪ Bessel 位勢空間 ▪ Besov 空間 ▪ 齊次 Bessel 位勢空間 ▪ 齊次 Besov 空間
Orlicz 空間	Φ 函數（逆、共軛、廣義、弱等價、權條件） ▪ Musielak-Orlicz 空間（Lp 嵌入、一致凸性、一般嵌入定理、極大算子、恆等逼近、相關空間、示性函數） ▪ Musielak-Orlicz-Sobolev 空間
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