Frechet 空间

在线性泛函中，Frechet 空间是一个在线性空间中引入向量“距离”概念而形成的空间，它是现代概率论以及随机分析中很重要的空间。

准模

假设在线性空间$(V; +, \cdot, \mathbb{F})$中定义一个满足下列条件的函数$p(x)$：

1. 非负性：$p(x) \geqslant 0, \forall x \in V$且$p(x) = 0 \iff x = 0.$
2. 三角不等式：$p(x+y) \leqslant p(x) + p(y), \forall x, y \in V.$
3. 对称性：$p(-x) = p(x).$
4. 对零元的连续性：$\lim_{\alpha_n \to 0} p(\alpha_n x) = 0; \lim_{x_n \to 0} (\alpha x_n) = 0.$

我们就称其为$V$上的一个准模，按照定义范数是准模。

Frechet 空间

如果上述空间$V$按照下式来定义极限运算 $$p(x_n - x) = 0.$$ 我们就说该赋准模的线性空间是一个$F^*$空间，完备的$F^*$空间称为 Frechet 空间。

赋范线性空间和连续函数空间都是$F^*$空间，Banach 空间是 Frechet 空间。

在 Frechet 空间中，线性组合的极限$\lim_{n \to \infty} (\alpha_n x_n + \beta_n y_n)$即使有$\alpha_n, \beta_n x_n, y_n$都收敛到$\alpha x + \beta y$也不一定等于极限的线性组合$\alpha x + \beta y$。S 空间即是一个非赋范线性空间的 Frechet 空间。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.