Frechet 导数

在有限维空间上我们讨论过实值函数的微分学理论，如果我们想要把这种理论推广到无穷维空间中去，需要解决两个问题：微积分是怎样建立的（即偏导数、方向导数以及全微分概念怎样推广），和紧性是如何保持的（如果没有某种紧性，我们很难讨论序列收敛的性质，例如有界序列是否有收敛的子列），第一个问题就引出了 Gateaux 导数（对方向导数的推广）和 Frechet 导数（对全微分概念的推广）的概念。这两种导数的概念一般而言是不同的，因为我们至少在有限维空间的微积分理论中得知，偏导数存在未必函数可微。

定义

假设有赋范线性空间$X, Y$，$U \subset X$是点$x_0 \in X$的一个开邻域，映射$f:U\to Y$在点$x_0$处存在 Frechet 导数是指：存在和$x_0$有关的连续线性映射$\xi (x_{0})\in {\mathcal {L}}(X,Y)$使得 $$\lim _{h\to 0}{\dfrac {\|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-\xi (x_{0})(h)\|}{\|h\|}}=0,$$ 我们称$\xi$是$f$在点$x_0$处的 Frechet 导数，记作$f'(x_0)$或$d f(x_0)$。同时我们说$f$是 Frechet 可微的，或简称可微的。如果$f$区域$U$上每一点是 Frechet 可微的，我们就称$f$在$U$是 Frechet 可微，且记$f\in C^{1}(U,Y)$。

当$X$是 Hilbert 空间，$Y = \R$时，由 Riesz 表示定理，存在$v(x_0) \in X$使得$(v(x_0), x) = \langle \xi(x_0), x \rangle$，我们称$v(x_0)$是$f$在点$x_0$处的梯度，记作$\nabla f(x_0)$或$Df(x_0).$

基本性质

下面假设$U \subset X$是赋范线性空间中的开集。

1. （线性性）$\forall f,g:C^{1}(U,Y),\forall a,b\in \mathbb {R}$，$af+bg \in C^1(U)$且$(af+bg)' = af'+bg'.$
2. （Leibniz 法则）$\forall f,g:C^{1}(U,\mathbb {R} )$，$fg \in C^1(U)$且$(fg)' = f'g+fg'.$
3. （商的导数）$\forall f,g:C^{1}(U,\mathbb {R} )$，$g(u) \ne 0, \forall u \in U$，那么$(f/g)' = (f'g-fg')/g^2.$
4. （链式法则）假设$f\in C^{1}(U,Y)$，$g:f(U)\subset Y\to Z$可微，那么复合函数$h(x)=g(f(x))\in C^{1}(U,Y)$且$h'(x)=g'(f(x))f'(x).$

与 G-可微的关系

由定义不难看出 F-可微蕴含 G-可微，实际上

假设$f:U\to Y$在$x_0 \in U$处的 G-导算子存在（即$df(x_{)},h)$关于$h$连续线性），那么$f$在$x_0$处 F-可微当且仅当

$$\lim _{t\to 0}\sup _{\|h\|=1}\left\|{\dfrac {f(x_{0}+th)-f(x_{0}))}{t}}-Df(x_{0})h\right\|=0.$$

由此可知，如果一个函数$f: U \to \R$在开集$V \subset U$上存在 Gateaux 导数且其连续，那么这个函数在$V$上的 Frechet 导数存在且连续。因此我们在很多场合下只计算稍微容易计算的 Gateaux 导数，然后验证它的连续性，即可得到$f \in C^1(U)$。

临界点与 E-L 方程

假设赋范线性空间$X$中有一个开集$U$及其上定义的一个泛函$I: U \to \R$，如果这个泛函是可微的且存在点$u^* \in U$使得 $$I'(u^*) = 0.$$ 即 $$\langle I'(u^*), v \rangle = 0, \quad \forall v \in X.$$ 我们就称$u^*$是这个泛函的临界点（critical point）。我们把方程 $$I'(u) = 0.$$ 称为这个泛函的 Euler-Lagrange 方程，简称 E-L 方程。

我们在变分导数中也说过临界点和 E-L 方程的概念，那里我们仅要求积分泛函$I(u)$的一阶变分$\delta I(u^*, \varphi)$为零的点$u^*$，和这里的区别是，$\varphi$是在$X$的一个子空间中取值，因此上述定义的临界点是一阶变分为零的点。

势算子

我们知道，对于 Hilbert 空间$H$上的泛函$f:U\subset H\to \mathbb {R}$，它在每一点$x_0 \in U$的 F-微分若存在则是$H\to H^{*}$的连续线性算子，可以等距同构为$H$上的连续线性算子，因此我们在变分上会考虑反过来的问题：对于一个$H$上的连续线性算子$f$，是否存在一个$g:H\to \mathbb {R}$使得$g'=f$，如果这个$g$存在，我们就称$g$是$f$的势，是一维下的不定积分的推广。

例如对于$f(u)=-\Delta u-g(x,u)$，其中 Caratheodory 函数$g(x,t):U\subset \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$满足一定的增长性条件： $$\int _{U}|G(x,u)|\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall u\in H_{0}^{1}(U),\quad G(x,t)=\int _{0}^{t}g(x,s)\mathrm {d} s.$$ 那么$f$对应的势为 $$g(u)={\dfrac {1}{2}}\int _{U}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x-\int _{U}G(x,u)\mathrm {d} x.$$ 这样的问题之所以重要，是因为$f(u)=0$恰好就是泛函$g$的 E-L 方程，而这个方程就是经典的非线性 Laplace 方程。

高阶导数

对于一个算子或泛函$f: X \to Y$的导算子$f':X\to {\mathcal {L}}(X,Y)$，如果它存在，我们可以继续考察它的导算子$f'':X\to {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {L}}(X,Y))$，当然也可以继续考察更高阶的导算子，至于这些算子所在的空间如何刻画，以及 Taylor 公式的推广，参见/高阶导数。

参考资料

1. 钟承奎, 范先令, 陈文塬, 《非线性泛函分析引论》, 兰州大学出版社, 2004-07, ISBN 978-7-3110-1332-5.