Fourier 级数

Fourier 级数(Fourier series)是一维的连续 Fourier 变换的频率非周期性离散化，是将一个周期函数展开为三角级数的和的形式。

这个页面介绍一维1周期函数的 Fourier 展开，n维情形参见/高维。

定义

假设$f$是$\R$上具有周期$1$的 Lebesgue 可积函数，那么定义 $$\hat{f}(k) = \int_0^1 f(x) \text{e}^{-2\pi\text{i}kx} \mathrm{d}x$$ 为$f$的 Fourier 系数，且称 $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}(k) \text{e}^{2\pi\text{i}kx}$$ 为$f$的 Fourier 级数。需要注意的是，这样的式子的不加约束的$f$来说，不一定一致收敛到$f.$

我们通常记 $$f(x) \sim \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}(k) \text{e}^{2\pi\text{i}kx},$$ 根据旋转乘子${\text{e}}^{2\pi {\text{i}}kx}$的模一性质有 $$|\hat{f}(x)| \leqslant \| f \|_1.$$ Riemann-Lebesgue 引理指出，如果$f \in L^1(\R)$，那么 $$\lim_{|x| \to +\infty} \hat{f}(x) = 0.$$ 当$f(x)$是具有一般的正周期$T$（或只在有限区间$[a, a+T)$上有定义时，我们可以将其周期延拓到整个实数轴上去）时，可以类似定义它的 Fourier 级数，仅需对自变量做伸缩即可： $$f(x) \sim \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}(k) \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi kx}{T}}, \quad \hat{f}(k) = \int_0^T f(x) \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi kx}{T}} \mathrm{d}x.$$ 有记号$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$是角速度，或者$\nu = \dfrac{1}{T}$是角频率。

部分和

我们记该级数的对称部分和 $$S_N f(x) = \sum_{k=-N}^{N} \hat{f}(k) \text{e}^{2\pi\text{i}kx}$$ 稍加计算可以得到 $$S_N f(x) = \int_0^1 f(x-t) D_N(t) \mathrm{d}t.$$ 其中 Dirichlet 核 $$D_N(t) = \sum_{k=-N}^N \text{e}^{2\pi\text{i}kt} = \dfrac{\sin(2N+1)\pi t}{\sin \pi t}$$

点态收敛性

Dini 判别法

假设$f \in L^1(\R)$，存在$x_0 \in \R$且对$x \in U(x_0)$，对任意的$\delta > 0$，积分 $$\int_{|t| < \delta} \left| \dfrac{f(x+t) - f(x)}{t} \right| \mathrm{d}t < + \infty,$$ 那么 $$\lim_{N \to +\infty} S_N f(x) = f(x).$$

假设存在$s$，使得函数$\varphi(u) = f(x+u) + f(x-u) - 2s$满足存在$h > 0$使得$\dfrac{\varphi(u)}{u}$在$[0, h]$上可积并绝对可积，那么$f$的 Fourier 级数在$x$收敛于$s.$

Jordan 判别法

如果$f$是局部有界变差函数，那么 $$\lim_{N \to \infty} S_N f(x) = \dfrac{f(x^-) + f(x^+)}{2}.$$ 这很容易能推出 Lipschitz 判别法。

Lipschitz 判别法

假设函数$f(x)$在$x$点对于充分小的正数$u \in [0, h]$满足如下 Lipschitz 条件 $$|f(x \pm u) - f(x^{\pm})| \leqslant L u^\alpha.$$ 其中常数$L > 0, \alpha \in (0, 1].$那么$f(x)$在$x$处的 Fourier 级数收敛于$\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.$

进一步，假设$f(x)$仅有有限的下面意义的导数 $$\lim_{u \to 0^+} \dfrac{f(x+u) - f(x^+)}{u}, \quad \lim_{u \to 0^-} \dfrac{f(x-u) - f(x^-)}{-u}$$ 那么$f(x)$在$x$处的 Fourier 级数收敛于$\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.$

其他性质

1. 一致收敛性，如果$f(x)$在$\R$上有有界的导数，或者它是连续的分段单调函数，那么其 Fourier 级数是一致收敛的。
2. 不论$f(x)$的 Fourier 级数是否收敛，它的级数一定可以逐项求积，且$$\int_a^x f(t) \mathrm{d}t = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \int_a^x \hat{f}(k) \text{e}^{\text{i}\omega kt} \mathrm{d}t.$$
3. $f(x)$Fourier 级数的$n$次部分和$S_n f(x)$是所有$n$次三角多项式$$T_n(x) = \sum_{k=-n}^n c_k \text{e}^{\text{i} \omega kx}$$逼近的最佳平方平均逼近问题的最佳逼近元素：$$S_n f(x) = \arg \min_{\deg T_n = n} \delta (f, T_n) = \arg \min_{\deg T_n = n} \left( \int_0^T |f(x) - T_n(x)|^2 \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{2}}.$$

Lp 收敛

在考察 Fourier 级数的收敛性问题时，借助实变函数论的方法，我们可以研究 Lp 收敛性，假设$f$在一个周期$[0, T]$上取值，且$f(x) \in L^p([0, T])$，那么对称部分和$\{ S_N f \}$依$L^p$范数收敛于$f$当且仅当存在一个不依赖于$N$的常数$C_p$满足 $$\| S_N f - f \|_{L^p} \leqslant C_p \| f \|_{L^p}.$$ 进一步，当$p = 2$时，Fourier 系数提供了一个$L^2 \to l^2$的同构映射： $$\| f \|_{L^2}^2 = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} | \hat{f}(k) |^2.$$ 当$1 \leqslant p \leqslant +\infty$，Fourier 级数是几乎处处收敛的。

Fejer 核

继续假设$f$是周期为1的$L^1$可积函数，定义 $$\sigma_N f(x) = \dfrac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N S_k f(x).$$ 注意到 Fejer 核（Dirichlet 核的求和平均） $$F_N (t) = \dfrac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N D_k (t) = \dfrac{1}{N+1} \left( \dfrac{\sin (N+1) \pi t}{\sin \pi t} \right)^2.$$ 于是 $$\sigma_N f(x) = \int_0^1 f(t) F_N(x-t) \mathrm{d}t.$$ 如果$f \in L^p([0, 1]), p \in (1, +\infty)$，或者$f \in C([0, 1]) \cap L^\infty([0, 1]), p = \infty$，那么 $$\lim_{N \to \infty} \| \sigma_N f - f \|_{L^p} = 0.$$ 这也就是说：Fejer 核是1周期函数空间上的恒等逼近。

参考资料

1. Loukas Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer New York, 2014-11, ISBN 978-1-4939-1193-6.