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Fermat 定理(常译费马定理),是一个函数极值导数关系的定理。

定理内容

如果点 是函数 的极值点,并且 在点 处可导,则

证明

使用函数导数的定义证明。不妨设 为极小值,极大值同理。

由此我们知道


由于 ,所以

推论

  1. 如果函数 在区间 上可导,且 ,则存在 ,使得
  2. 如果函数 在区间 上可导但没有零点,则导函数 上定号(即 )。(和第一点等价)
  3. 如果函数 在区间 上可导,则对任意介于 之间的数 ,存在 ,使得 (导函数的介值定理Darboux 定理)。

用途

Fermat 定理可以推出 Rolle 定理

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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