Fatou 引理

在实变函数中，Fatou 引理是一个关于非负可测函数的积分的定理，它常用于判断极限函数的可积性。

内容

设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是$\mu-$可测集$E$上的非负可测函数列，那么

$$\int_E \liminf_{k \to \infty} f_k \mathrm{d}\mu \leqslant \liminf_{k \to \infty} \int_E f_k \mathrm{d}\mu.$$

其中，$\leqslant$不能改为$=$，当$\{ f_k \}_{k=1}^\infty$是单调函数列时，会取到$=$，此时是 Levi 积分定理。

测度是积分的特殊情形（Radon-Nikodym 定理），因此测度上也有 Fatou 引理：

设有一可测集合列$\{ E_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{M}$，每一项的测度都不是无穷，那么有

$$\begin{align} m \left( \liminf_{n \to \infty} E_n \right) & \leqslant \liminf_{n \to \infty} m(E_n), \\ m \left( \limsup_{n \to \infty} E_n \right) & \geqslant \limsup_{n \to \infty} m(E_n). \end{align}$$

证明

注意到$\liminf_{k \to \infty} f_k$是非负可测函数，那么任取比不超过这个函数的一个非负简单函数

$$g := \sum_{j=1}^\infty a_j \chi_{A_j}, \quad A_i \cap A_j = \varnothing, \forall i \ne j.$$

固定$t > 0$那么

$$A_j = \bigcup_{k=1}^\infty B_{j,k}, \quad B_{j,k} = A_j \cap \{ x | f_l(x) > ta_j, \forall l \geqslant k \}.$$

注意到

$$A_j \supseteq B_{j, k+1} \supseteq B_{j, k} \quad (k = 1, \cdots).$$

因此

$$\int_E f_k \mathrm{d}\mu \geqslant \sum_{j=1}^{\infty} \int_{A_j} f_k \mathrm{d}\mu \geqslant \sum_{j=1}^{\infty} \int_{B_{j, k}} f_k \mathrm{d}\mu \geqslant t \sum_{j=1}^{\infty} a_j \mu \left(B_{j, k}\right).$$

于是

$$\liminf_{k \to \infty} \int_E f_k \mathrm{d}\mu \geqslant t \sum_{j=1}^{\infty} a_j \mu \left(A_j \right) = t \int_E g \mathrm{d}\mu.$$

这个不等式对任意的$0<t<1$以及每个不超过$\liminf_{k \to \infty} f_k$的非负简单函数$g$都成立，因此

$$\liminf_{k \rightarrow \infty} \int_E f_k d \mu \geqslant \int_* \liminf_{k \to \infty} f_k \mathrm{d}\mu = \int_E \liminf_{k \to \infty} f_k \mathrm{d}\mu.$$

推广

依测度收敛型

设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是可测集$E$上的依测度收敛到$f(x)$的非负可测函数列，那么

$$(L) \int_E f(x) \mathrm{d}x \leqslant \liminf_{k \to \infty} (L) \int_E f_k (x) \mathrm{d}x.$$

精细等式

上述不等式表明了，在$E \subset \R^n$中选择 Lebesgue 测度时，对于几乎处处收敛的有界函数列$\{ f_k \} \to f, \text{a.e. }$而言，

$$\int_E |f| \mathrm{d}x \leqslant \liminf_{k \to \infty} \int_E |f_k| \mathrm{d}x.$$

下面的结果衡量了上面不等式之间究竟差了多少。我们在更一般的$L^p$空间情况下讨论。

假设$L^p$有界的可测函数序列$\{ f_k \}$在可测集$E$上几乎处处收敛，$1 \leqslant p < +\infty$，即

1. $\| f_k \|_p < M, \forall k \in \N.$
2. $f_k \to f, \quad k \to \infty, \quad \text{a.e. } x \in E.$

那么

$$\lim_{k \to \infty} \left( \| f_k \|_p^p - \| f_k - f \|_p^p \right) = \| f \|_p^p.$$

证明参见 Brezis-Lieb 引理。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.