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在实变函数中,Fatou 引理是一个关于非负可测函数的积分的定理,它常用于判断极限函数的可积性。

内容[]

可测集上的非负可测函数列,那么

其中,不能改为,当是单调函数列时,会取到,此时是 Levi 积分定理

测度是积分的特殊情形(Radon-Nikodym 定理),因此测度上也有 Fatou 引理:

设有一可测集合列,每一项的测度都不是无穷,那么有

证明[]

注意到是非负可测函数,那么任取比不超过这个函数的一个非负简单函数

固定那么
注意到
因此
于是
这个不等式对任意的以及每个不超过的非负简单函数都成立,因此

推广[]

依测度收敛型[]

可测集上的依测度收敛到的非负可测函数列,那么

精细等式[]

上述不等式表明了,在中选择 Lebesgue 测度时,对于几乎处处收敛的有界函数列而言,

下面的结果衡量了上面不等式之间究竟差了多少。我们在更一般的空间情况下讨论。

假设有界的可测函数序列在可测集上几乎处处收敛,,即

那么

证明参见 Brezis-Lieb 引理

参考资料

  1. 周民强, 《实变函数论(第三版)》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
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