F 分布

$F$分布是在数理统计中常用的一种概率分布，它和假设检验的 $F$检验有密切关系。

模型

设有非负连续型随机变量$X$，它的概率密度函数是

$$f(x) = \dfrac{\Gamma\!\left( \dfrac{k_1+k_2}{2} \right)}{\Gamma\!\left( \dfrac{k_1}{2} \right)~\Gamma\!\left( \dfrac{k_2}{2} \right)} k_1^\frac{k_1}{2} k_2^\frac{k_2}{2} \dfrac{x^{\frac{k_1}{2}-1}}{(k_2+k_1x)^\frac{k_1+k_2}{2}}, \qquad x \geqslant 0$$

其中，$k_1, k_2$是正整数，我们就说随机变量$X$服从参数为$k_1, k_2$的$F$分布。

$F$分布的数学期望在$k_2 > 2$时存在，为$\dfrac{k_2}{k_2-2}$，方差在$k_2 > 4$时存在，为$\dfrac{2k_2^2 (k_1+k_2-2)}{k_1 (k_2-2)^2 (k_2-4)}$。

导出

该分布可以由下述情形导出：设随机变量$X, Y$相互独立，且$X, Y$分别服从自由度为$k_1$和$k_2$的$\chi^2$分布，那么$Z = \dfrac{k_2X}{k_1Y}$就服从参数为$k_1, k_2$的$F$分布。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.