该页面主要从数学分析含参积分的角度介绍 Γ 函数和 Β 函数,关于它们在复变量情形下的讨论详见 Γ 函数 和 Β 函数。
Euler 积分是在概率论和数理方程中应用广泛的一类参变量积分,其早期理论研究的很多成果在不同程度上都促进了概率论的发展。在计算数学的发展下,对该种类型参变量积分可以通过机器计算得到较为精确的数值解。Euler 积分包括
函数和
函数,后者也可借由前者定义。
Γ 函数[]
我们称如下形式的含参变量的反常积分

为

函数,其中,

,可以证明,该参变量积分在

上内闭一致收敛且是

上的光滑函数:各阶导数

存在且同样在

上内闭一致收敛。
迭代公式[]
对任意的
,
函数有迭代公式

这是因为

进而有
![{\displaystyle \Gamma (x+1)=x(x-1)(x-2)\cdots (x-[x])\Gamma (x-[x])}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/8726775f47bf1107745413d0730e7391d36cf275)
其中,
![{\displaystyle [x]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/39aa7b4b4351632946d17cb6edebef037b6db977)
是

的整数部分。当

时,

,因此

函数是
阶乘的推广。
是光滑函数,
是凸函数。
B 函数[]
函数是另一类重要的 Euler 积分,它具有如下形式

这是一个含参数

的瑕积分,它是一个二元函数,定义在

上,且是光滑函数,该积分在

上内闭一致收敛,且函数的偏导数也是内闭一致收敛的,有

上述结果的积分式都在

上内闭一致收敛。
函数关于两变元是对称的,即有
,可以在定义的积分式中作变换
得到。
函数和三角函数之间也有密切的关系,实际上,做变换
即有

我们可以很方便地计算出

迭代公式[]
函数也有迭代公式,即对任意的
有

Dirichlet 公式[]
这是一个揭示
函数和
函数之间关系的定理,它是说

我们可以用它来计算

,注意到

,且

,于是
相关(估计)公式[]
- Euler 余元公式:

函数逼近零点的估计式:
- Stirling 公式:

- Legendre 公式:

- 倍元公式:

- Euler 公式:

Γ 函数的递推公式、余元公式和 Legendre 公式综合起来,加上对
连续可导以及
这些性质可以对 Γ 函数作公理化定义。
应用[]
相关实参数积分[]
设
,那么

设

,由
#A1,那么

二项式积分:设

,那么

设

,那么

关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

标准正态分布的概率密度函数是

于是分布函数满足规范性条件

上下节[]
参考资料
- 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN
978-7-0404-9718-2
. - 裴礼文, 《数学分析中的典型问题与方法(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN
978-7-0401-8454-9
.