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该页面主要从数学分析含参积分的角度介绍 Γ 函数和 Β 函数,关于它们在复变量情形下的讨论详见 Γ 函数Β 函数

Euler 积分是在概率论和数理方程中应用广泛的一类参变量积分,其早期理论研究的很多成果在不同程度上都促进了概率论的发展。在计算数学的发展下,对该种类型参变量积分可以通过机器计算得到较为精确的数值解。Euler 积分包括函数和函数,后者也可借由前者定义。

Γ 函数[]

我们称如下形式的含参变量的反常积分

函数,其中,,可以证明,该参变量积分在上内闭一致收敛且是上的光滑函数:各阶导数
存在且同样在上内闭一致收敛。

迭代公式[]

对任意的函数有迭代公式

这是因为
进而有
其中,的整数部分。当时,,因此函数是阶乘的推广。

是光滑函数,凸函数

B 函数[]

函数是另一类重要的 Euler 积分,它具有如下形式

这是一个含参数的瑕积分,它是一个二元函数,定义在上,且是光滑函数,该积分在上内闭一致收敛,且函数的偏导数也是内闭一致收敛的,有
上述结果的积分式都在上内闭一致收敛。

函数关于两变元是对称的,即有,可以在定义的积分式中作变换得到。

函数和三角函数之间也有密切的关系,实际上,做变换即有

我们可以很方便地计算出

迭代公式[]

函数也有迭代公式,即对任意的

Dirichlet 公式[]

这是一个揭示函数和函数之间关系的定理,它是说

我们可以用它来计算,注意到,且,于是

相关(估计)公式[]

  1. Euler 余元公式:
  2. 函数逼近零点的估计式:
  3. Stirling 公式
  4. Legendre 公式:
  5. 倍元公式:
  6. Euler 公式:

Γ 函数的递推公式、余元公式和 Legendre 公式综合起来,加上对连续可导以及这些性质可以对 Γ 函数作公理化定义。

应用[]

相关实参数积分[]

,那么

,由#A1,那么
二项式积分:设,那么

,那么
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

标准正态分布的规范性[]

标准正态分布的概率密度函数是

于是分布函数满足规范性条件

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
  2. 裴礼文, 《数学分析中的典型问题与方法(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2006-04, ISBN 978-7-0401-8454-9.
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