Euler 无穷乘积公式

Euler 无穷乘积公式是一个有关 Γ 函数的无穷乘积定义关系式。

概述[]

注意到 $\text{e}^{-t} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{t}{n} \right)^n$ 令 $P_n(z) = \int_C \left( 1 - \dfrac{t}{n} \right)^n t^{z-1} \mathrm{d}t.$ 可以证明 $\lim_{n \to \infty} P_n(z) = \Gamma(z).$ 进一步可以得到 Euler 公式 $\Gamma (z) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(n-1)! n^z}{z (z-1) \cdots (z+n-1)}.$ 注意到 $\dfrac{(n-1)!}{z (z-1) \cdots (z+n-1)} = \dfrac{1}{z} \prod_{m=1}^{n-1} \left( 1 + \dfrac{z}{m} \right)^{-1}$ 以及 $n^z = \prod_{m=1}^{n-1} \left( 1 + \dfrac{1}{m} \right)^z.$ 于是 $\Gamma (z) = \dfrac{1}{z} \prod_{m=1}^\infty \left[ \left( 1 + \dfrac{z}{m} \right)^{-1} \left( 1 + \dfrac{1}{m} \right)^z \right].$ 上述定义是 Euler 的无穷乘积定义，它可以在全复平面上除了负整数的点外给出 Γ 函数的定义。

参考资料

王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.

特殊函数论（学科代码：1104170，GB/T 13745—2009）
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