Euler 方程

Euler 方程是一类特殊齐次变系数线性常微分方程，该方程是在流体力学的粘性问题中引入的。该方程有下述形式

$$x^{n}{\dfrac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a_{1}x^{n-1}{\dfrac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}x{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+a_{n}y=0,$$

其中$a_i, i = 1,2,\cdots,n$是实常数。它的的解的问题可以经过适当的变量代换使用 Euler 待定指数函数法解决。

解的形式

做代换

$$t = \ln |x|, \quad x = \pm \text{e}^t$$

为了方便，以下总假设$x = \text{e}^t$，注意到

$$\dfrac{\mathrm{d}^k y}{\mathrm{d} x^k} = \text{e}^{-kt} \left( \dfrac{\mathrm{d}^k y}{\mathrm{d} t^k} + l_1 \dfrac{\mathrm{d}^{k-1} y}{\mathrm{d} t^{k-1}} + \cdots + l_{k-1} \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right).$$

其中，$l_1, l_2, \cdots, l_{k-1}$是实常数，这样就有

$$x^k \dfrac{\mathrm{d}^k y}{\mathrm{d} x^k} = \dfrac{\mathrm{d}^k y}{\mathrm{d} t^k} + l_1 \dfrac{\mathrm{d}^{k-1} y}{\mathrm{d} t^{k-1}} + \cdots + l_{k-1} \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}.$$

这样方程#Eq1便化为

$${\dfrac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} t^{n}}}+b_{1}{\dfrac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} t^{n-1}}}+\cdots +b_{n-1}{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+b_{n}y=0.$$

上述方程是一个常系数齐次常微分方程，由 Euler 待定指数函数法可以知道$y = \text{e}^{K t} = x^K$形式的特解。

解法

有以上的分析，我们可以直接设方程#Eq1有$x^K$形式的解，这样，代入原方程得到一个关于$K$的方程，这也称为#Eq1的特征方程

$$K(K-1)\cdots(K-n+1) + a_1K(K-1)\cdots(K-n+2) + \cdots + a_{n-1}K + a_n = 0.$$

在复数域上，解出它的$n$个解，即为特征根。

如果特征方程的实根$K_j$的重数分别为$k_j, j = 1,2,\cdots,m$，特别地，单根相当于$k_j = 1$，那么微分方程就有一系列下述形式的特解

$$\begin{cases} x^{K_1}, x^{K_1} \ln |x|, x^{K_1} \ln^2 |x|, \cdots, x^{K_1} \ln^{k_1-1} |x|, \\ x^{K_2}, x^{K_2} \ln |x|, x^{K_2} \ln^2 |x|, \cdots, x^{K_2} \ln^{k_2-1} |x|, \\ \cdots, \\ x^{K_m}, x^{K_m} \ln |x|, x^{K_m} \ln^2 |x|, \cdots, x^{K_m} \ln^{k_m-1} |x|. \\ \end{cases}$$

如果特征方程的根为$k$重的虚根$K_0 = \alpha + \text{i} \beta, \alpha, \beta \in \R$，显然有$2k$个两两互为共轭的虚数根，这时原微分方程有$2k$个线性无关的特解

$$\begin{matrix} x^\alpha \cos (\beta \ln |x|), & x^{\alpha} \ln |x| \cos (\beta \ln |x|), & x^{\alpha} \ln^2 |x| \cos (\beta \ln |x|), & \cdots, & x^{\alpha} \ln^{m-1} |x| \cos (\beta \ln |x|), \\ x^\alpha \sin (\beta \ln |x|), & x^{\alpha} \ln |x| \sin (\beta \ln |x|), & x^{\alpha} \ln^2 |x| \sin (\beta \ln |x|), & \cdots, & x^{\alpha} \ln^{m-1} |x| \sin (\beta \ln |x|). \end{matrix}$$

可以验证上述构造出的$n$个特解都是线性无关的，因此原方程#Eq1的通解就是这些特解的线性组合。

上下节

• 上一节：Euler 待定指数函数法
• 下一节：非齐次常系数线性常微分方程

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.