Euler 数

在分析中，Euler 数（欧拉数）是一列级数展开中常见的数，尤其是正割和双曲正割。和 Euler 多项式有关联。

定义

一般的定义是采用双曲正割函数作为定义 Euler 数的母函数，即定义

$$\operatorname{sech} x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_n}{n!} x^n.$$

注意到

$$\operatorname{sech} x \cdot \cosh x = 1, ~\cosh x = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}.$$

作柯西乘积

$$\left( \sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_n}{n!} x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(2n)!} x^{2n} \right) = 1.$$

因此有 Euler 数的递推定义式

$$\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} E_{2n-2k} = 0, n \in \N^+, E_0 = 1, E_{2n-1} = 0.$$

前几个 Euler 数是

$$E_0 = 1, E_2 = -1, E_4 = 5, E_6 = -61, E_8 = 1385, E_{10} = -50521,\cdots.$$

有规律$\forall k \in \N, E_{4k} > 0, E_{4k+2} < 0, E_{2k+1} = 0.$

级数展开

和 Bernoulli 数一样，Euler 数也常见于某些级数展开中，例如

1. $\sec x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \cdots, \forall x:|x| < \frac{\pi}{2}.$
2. $\operatorname{sech} x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} - \frac{61x^6}{720} + \cdots, \forall x.$

Dirichlet β 函数

Euler 数和 Drichlet β 函数有关系：

$$\beta(2k+1) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{(2n+1)^{2k+1}} = \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{2k+1} \dfrac{(-1)^k}{2(2k)!} E_{2k}.$$