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在分析中，Euler 数（欧拉数）是一列级数展开中常见的数，尤其是正割和双曲正割。和 Euler 多项式有关联。
一般的定义是采用双曲正割函数作为定义 Euler 数的母函数，即定义 sech x = ∑ n = 0 ∞ E n n ! x n . {\displaystyle \operatorname{sech} x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_n}{n!} x^n.} 注意到 sech x ⋅ cosh x = 1 , cosh x = e x + e − x 2 . {\displaystyle \operatorname{sech} x \cdot \cosh x = 1, ~\cosh x = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}.} 作柯西乘积 ( ∑ n = 0 ∞ E n n ! x n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n ) = 1. {\displaystyle \left( \sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_n}{n!} x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{(2n)!} x^{2n} \right) = 1.} 因此有 Euler 数的递推定义式 ∑ k = 0 n ( 2 n 2 k ) E 2 n − 2 k = 0 , n ∈ N + , E 0 = 1 , E 2 n − 1 = 0. {\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} E_{2n-2k} = 0, n \in \N^+, E_0 = 1, E_{2n-1} = 0.} 前几个 Euler 数是 E 0 = 1 , E 2 = − 1 , E 4 = 5 , E 6 = − 61 , E 8 = 1385 , E 10 = − 50521 , ⋯ . {\displaystyle E_0 = 1, E_2 = -1, E_4 = 5, E_6 = -61, E_8 = 1385, E_{10} = -50521,\cdots.} 有规律 ∀ k ∈ N , E 4 k > 0 , E 4 k + 2 < 0 , E 2 k + 1 = 0. {\displaystyle \forall k \in \N, E_{4k} > 0, E_{4k+2} < 0, E_{2k+1} = 0.}
和 Bernoulli 数一样，Euler 数也常见于某些级数展开中，例如
Euler 数和 Drichlet β 函数有关系： β ( 2 k + 1 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 n + 1 ) 2 k + 1 = ( π 2 ) 2 k + 1 ( − 1 ) k 2 ( 2 k ) ! E 2 k . {\displaystyle \beta(2k+1) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{(2n+1)^{2k+1}} = \left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{2k+1} \dfrac{(-1)^k}{2(2k)!} E_{2k}.}
注意到
作柯西乘积
因此有 Euler 数的递推定义式
前几个 Euler 数是
有规律
