Euler 恒等式

数论中的 Euler 恒等式是描述惟一因子分解定理的等价分析表达的公式。

公式

算术基本定理（惟一因子分解定理）等价于

$$\prod_{p} \left( 1 - \dfrac{1}{p^s} \right)^{-1} = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^s} = \zeta(s).$$

等式右端就是著名的 Riemann ζ 函数，这也是该函数的数论表达形式。

Euler 恒等式将算术基本定理和分析学上的级数联系了起来，这使得我们可以利用分析方法研究数论（的素数定理）。

级数求和

一些常见的数论函数也可以借 Riemann ζ 函数求和，为此我们先引入一些理论工作，再介绍例子。

理论

以下假设出现的级数均绝对收敛且不为零$s \in \R$，出现的求积指标$p$是素数。

1. 若$f(n)$是积性函数，则
   $$\sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s} = \prod_p (1 + f(p) p^{-s} + f(p^2) p^{-2s} + \cdots).$$
2. 若$f(n)$是完全积性函数，则
   $$\sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s} = \prod_p \dfrac{1}{1-f(p)p^{-s}}.$$
3. 如下级数的乘积会变为数论函数的卷积
   $$\left( \sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s} \right) \left( \sum_{n=1}^\infty g(n) n^{-s} \right) = \sum_{n=1}^\infty (f * g)(n) n^{-s}.$$

由上一条性质，已知一些简单的函数去求解复杂函数的级数可以使用卷积逆的方法，卷积单位元的级数为$\sum_{n=1}^\infty e(n) n^{-s} = 1.$因此$\sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s} = \left( \sum_{n=1}^\infty f^{-1}_*(n) n^{-s} \right)^{-1}.$

例子

以下均在$\zeta(s)$中各$s > 1$时有意义。

1. 恒为1的函数：$\sum_{n=1}^\infty 1 \cdot n^{-s} = \zeta(s).$
2. 幂函数：$\sum_{n=1}^\infty n^k n^{-s} = \zeta(s-k).$
3. Möbius 函数：$\sum_{n=1}^\infty \mu(n) n^{-s} = \dfrac{1}{\zeta(s)}.$
4. 除数函数：$\sum_{n=1}^\infty \tau(n) n^{-s} = \zeta^2(s).$
5. 除数和函数：$\sum_{n=1}^\infty \sigma(n) n^{-s} = \zeta(s-1) \zeta(s).$
6. Liouville 函数：$\sum_{n=1}^\infty \lambda(n) n^{-s} = \dfrac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$
7. Euler 函数：$\sum_{n=1}^\infty \varphi(n) n^{-s} = \dfrac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}.$
8. Mangoldt 函数：$\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n) n^{-s} = -\dfrac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}.$
9. 除数函数#推广：$\sum_{n=1}^\infty \tau_k(n) n^{-s} = \zeta^k(s).$
10. Euler 函数#推广：$\sum_{n=1}^\infty \varphi_k(n) n^{-s} = \dfrac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)}.$