Euler 常数

在分析中，Euler 常数是十分重要的一个常数，它可由下述收敛数列的极限定义：

$$\gamma := \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \ln n \right).$$

上述数列是调和级数的前$n$项部分和与对数函数$\ln n$的差。

关于上述数列的收敛性证明，可参看这里。

等价刻画

Euler 常数可用以下某些式子做等价定义，这也是该常数的一些常见的恒等式。

Gamma 函数

1. $\gamma = - \Gamma'(1) = - \int_0^{+\infty} \text{e}^{-x} \ln x \mathrm{d}x.$揭示了 Euler 常数和$\Gamma$函数导数的关系。
2. $\gamma = \lim_{x \to 0^+} \left( \dfrac{1}{x} - \Gamma(x) \right).$揭示了 Euler 常数和$\Gamma$函数在$x \to 0^+$的极限关系，也即$\Gamma(x) \sim \dfrac{1}{x} ~ (x \to 0^+)$。
3. $\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{\Gamma\!\left(\frac{1}{n}\right) \Gamma(n+1) n^{1+\frac{1}{n}}}{\Gamma\!\left(2+n+\frac{1}{n}\right)} - \dfrac{n^2}{n+1} \right).$

反常积分

1. $\gamma = \int_1^{+\infty} \left( \dfrac{1}{[x]} - \dfrac{1}{x} \right) \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \left\lceil \dfrac{n}{k} \right\rceil - \dfrac{n}{k} \right).$
2. $\gamma = - \int_0^1 \ln \ln \dfrac{1}{x} \mathrm{d}x.$
3. $\gamma = \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{1}{1+x} - \text{e}^{-x} \right) \mathrm{d}x.$
4. $\gamma = \int_0^{+\infty} \left( \dfrac{1}{1-\text{e}^{-x}} - \dfrac{1}{x} \right) \text{e}^{-x} \mathrm{d}x.$
5. $\gamma = \int_0^1 \int_0^1 \dfrac{x-1}{(1-xy) \ln xy} \mathrm{d}x \mathrm{d}y.$

Riemann ζ 函数

1. $\gamma = \sum_{m=2}^\infty \dfrac{(-1)^m \zeta(m)}{m}.$
2. $\gamma = \dfrac{3}{2} - \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty \dfrac{(-1)^m(m-1)}{m} [\zeta(m)-1].$
3. $\gamma = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \ln n - \sum_{m=2}^\infty \dfrac{\zeta(m,n+1)}{m}.$Euler 常数与定义数列中每一项的差距。
4. $\gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left( \dfrac{1}{n^s} - \dfrac{1}{s^n} \right) = \lim_{s \to 1^+} \left( \zeta(s) - \dfrac{1}{s-1} \right).$
5. $\gamma = \ln \dfrac{4}{\pi} - \sum_{m=1}^\infty (-1)^m \dfrac{\zeta(m+1)}{2^m(m+1)}.$

相关值

1. $\sum_{n=1}^\infty \left[ \dfrac{1}{n} - \ln \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) \right] = \gamma.$微分$\ln(1+x) = x + o(x)$的累计离散误差。
2. $\Gamma''(1) = \int_0^{+\infty} \text{e}^{-x} \ln^2 x \mathrm{d}x = \gamma^2 + \dfrac{\pi^2}{6}.$
3. $\int_0^{+\infty} \text{e}^{-x^2} \ln x \mathrm{d}x = -\dfrac{2\ln2+\gamma}{4}\sqrt{\pi}.$
4. $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2n+k} = \ln \dfrac{3}{2}.$
5. $\lim_{n \to \infty} \left( \exp \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k} - \exp \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} \right) = \text{e}^\gamma.$
6. $\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{g_n^\gamma}{\gamma^{g_n}} \right)^{2n} = \dfrac{\text{e}}{\gamma}$，其中$g_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \ln n.$