Euler 多項式

Euler 多項式是一類特殊的多項式序列，它在一些特殊函數的研究中應用廣泛。Euler 數是其在$\dfrac{1}{2}$處的函數值的某個倍數。

概念

我們可以藉助母函數來定義 Euler 多項式，設有函數的含參級數展開 $$\psi(x, t) = \dfrac{2\text{e}^{xt}}{\text{e}^t + 1} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_n(x)}{n!} t^n.$$ 上述級數在$|t| < \pi$的開圓盤中收斂，由此確定的多項式$E_n (x), n = 0,1,2,\cdots$稱為 Euler 多項式。特別地，當$x = \dfrac{1}{2}$時 $$\dfrac{\text{e}^{\frac{t}{2}}}{\text{e}^t + 1} = \text{sech} \dfrac{t}{2} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{E_n}{n!} \left( \dfrac{t}{2} \right)^n.$$ 因此 Euler 數$E_n = 2^n E_n(\dfrac{1}{2}).$

遞推公式

Euler 多項式的遞推公式為 $$E_n (x) = \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} \binom{n}{2k} \dfrac{E_{2k}}{2^{2k}} \left( x - \dfrac{1}{2} \right)^{n-2k}, B_0 = 1, n = 1,2,\cdots.$$ 前六個 Euler 多項式是 $$\begin{align} E_0(x) & = 1, \\ E_1(x) & = x - \dfrac{1}{2}, \\ E_2(x) & = x^2 - x, \\ E_3(x) & = x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{1}{4}, \\ E_4(x) & = x^4 - 2x^3 + 1, \\ E_5(x) & = x^5 - \dfrac{5}{2} x^4 + \dfrac{5}{2}x^2 - \dfrac{1}{2}. \end{align}$$

性質

使用母函數定義可以方便地證明如下性質：

1. 差分公式：$E_n(x+1) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} E_k (x).$
2. 余元公式：$E_n(1-x) = (-1)^n E_n(x).$
3. 均值公式：$E_n(x) + E_n(x+1) = 2x^n.$
4. 乘法公式：$E_n(mx) = \begin{cases} m^n \displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}} (-1)^k E_n \!\!\left( x + \dfrac{k}{m} \right), & m \text{ is odd}, \\ \dfrac{2m^n}{n+1} \displaystyle{\sum_{k=0}^{m-1}} (-1)^k B_{n+1} \!\!\left( x + \dfrac{k}{m} \right), & m \text{ is even}. \end{cases}$
5. 導數：$E'_n(x) = n E_{n-1}(x), n > 0; E_n^{(p)} (x) = \dfrac{n!}{(n-p)!} E_{n-p}(x), p \leqslant n.$

等冪求和

由 Euler 多項式的均值公式可以得到 $$\begin{align} \sum_{k=1}^m (-1)^k k^p & = \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^m (-1)^k \big[E_p(k+1) + E_p(k) \big] \\ & = \dfrac{1}{2} \big[ (-1)^k E_p(m+1) - E_p(1) \big]. \end{align}$$

高階 Euler 多項式

利用母函數可以定義所謂$p$階的 Euler 多項式$E_{n,p} (x)$: $$\dfrac{2^p \text{e}^{xt}}{(\text{e}^{t}+1)^p} = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{E_{n,p}(x)}{n!} t^n.$$ 成立如下加法公式 $$E_{n,p+q} (x+y) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} E_{k,p}(x) E_{n-k,q}(y).$$

參考資料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.