Euler 多项式是一类特殊的多项式序列,它在一些特殊函数的研究中应用广泛。Euler 数是其在
处的函数值的某个倍数。
概念[]
我们可以借助母函数来定义 Euler 多项式,设有函数的含参级数展开

上述级数在

的开圆盘中收敛,由此确定的多项式

称为 Euler 多项式。特别地,当

时

因此
Euler 数
递推公式[]
Euler 多项式的递推公式为
![{\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\binom {n}{2k}}{\dfrac {E_{2k}}{2^{2k}}}\left(x-{\dfrac {1}{2}}\right)^{n-2k},B_{0}=1,n=1,2,\cdots .}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/3b6b302af437d47300f06e0bfb65552e20922b47)
前六个 Euler 多项式是

性质[]
使用母函数定义可以方便地证明如下性质:
- 差分公式:

- 余元公式:

- 均值公式:

- 乘法公式:

- 导数:

等幂求和[]
由 Euler 多项式的均值公式可以得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}k^{p}&={\dfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}{\big [}E_{p}(k+1)+E_{p}(k){\big ]}\\&={\dfrac {1}{2}}{\big [}(-1)^{k}E_{p}(m+1)-E_{p}(1){\big ]}.\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/00bf295587e7f6ca89813c27842ef8adfe98244b)
高阶 Euler 多项式[]
利用母函数可以定义所谓
阶的 Euler 多项式
:

成立如下加法公式

参考资料