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Euler 多项式是一类特殊的多项式序列,它在一些特殊函数的研究中应用广泛。Euler 数是其在处的函数值的某个倍数。

概念[]

我们可以借助母函数来定义 Euler 多项式,设有函数的含参级数展开

上述级数在的开圆盘中收敛,由此确定的多项式称为 Euler 多项式。特别地,当
因此 Euler 数

递推公式[]

Euler 多项式的递推公式为

前六个 Euler 多项式是

性质[]

使用母函数定义可以方便地证明如下性质:

  1. 差分公式:
  2. 余元公式:
  3. 均值公式:
  4. 乘法公式:
  5. 导数

等幂求和[]

由 Euler 多项式的均值公式可以得到

高阶 Euler 多项式[]

利用母函数可以定义所谓阶的 Euler 多项式:

成立如下加法公式

参考资料

  1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.
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