在数论中，Euler 函数是一个常见的数论函数，一个正整数的 Euler 函数值是与该正整数互素的比该正整数小的所有非负整数的个数。
设有正整数 n ∈ N + {\displaystyle n \in \mathbb{N}^+} ，那么 φ ( n ) {\displaystyle \varphi(n)} 表示 0 , 1 , ⋯ , n − 1 {\displaystyle 0,1,\cdots,n-1} 当中与 n {\displaystyle n} 互素的整数的个数。
设 k {\displaystyle k} 是给定的正整数， φ k ( n ) {\displaystyle \varphi_k (n)} 表示满足以下条件的数组的个数：
那么有
∑ n : n ⩽ x φ ( n ) = 1 2 ( ∑ d = 1 ∞ μ ( d ) d 2 ) x 2 + r 4 ( x ) , | r 4 ( x ) | ⩽ 3 x ln x + 4 x . {\displaystyle \sum_{n:n \leqslant x} \varphi(n) = \dfrac{1}{2} \left( \sum_{d=1}^\infty \dfrac{\mu(d)}{d^2} \right) x^2 + r_4(x), |r_4(x)| \leqslant 3x\ln x + 4x.} 进一步 | 1 x ∑ n : n ⩽ x ( φ ( n ) − 6 n π 2 ) | < 3 ln x + 5. {\displaystyle \left| \dfrac{1}{x} \sum_{n:n \leqslant x} \left( \varphi(n) - \dfrac{6n}{\pi^2} \right) \right| < 3\ln x + 5.} 平均来看， φ ( n ) ∼ 6 n π 2 . {\displaystyle \varphi(n) \sim \dfrac{6n}{\pi^2}.}
，那么
表示
当中与
互素的整数的个数。
是积性数论函数，但它不是完全积性的：当
时
，那么
是正整数的正因子，且
，那么
，存在无穷多个正整数使得
，则必有
时，
是给定的正整数，
表示满足以下条件的数组的个数：
进一步
平均来看，
