Euclid 空间点集

这里介绍数学分析中研究多元函数会使用到的度量空间点集的相关概念，未特别声明时以下的假设均在$d$维 Euclid 空间上讨论。

度量

度量是度量空间上的概念，在拓扑中它用来严格定义“距离”：设$S$是一个非空集合，称$\rho: S \times S \to \R$为集合$S$上的一个度量，如果它满足：

1. 正定性：$\forall x, y \in S, \rho(x, y) \geqslant 0$，等号取到当且仅当$x = y$；
2. 对称性：$\forall x, y \in S, \rho(x, y) = \rho(y, x)$；
3. 三角不等式：$\forall x, y, z \in S, \rho(x, y) + \rho(y, z) \geqslant \rho(x, z)$。

例如，$d$维 Euclid 空间上的 Euclid 距离（普通内积）：$\rho(x, y) = \left( \sum_{i=1}^d (x_i - y_i)^2 \right)^{\frac{1}{2}}$就是$d$维 Euclid 空间上的一个度量。

邻域

邻域的概念是直接由度量来引出的，在数学分析之后许多概念都是基于邻域叙述的，选定的度量不同得到的邻域也有所不同。这里仅介绍$d$维 Euclid 空间上由普通内积诱导形成的邻域。

对于$d$维 Euclid 空间$\R^d$，其中有一点$x_0 \in \R^d$，设$\delta > 0$，称满足$\rho(x_0, y) < \delta$的所有元素$y$组成的集合，称为$x_0$的$\delta$邻域，记作$U(x_0; \delta)$，即

$$U(x_0;\delta) := \{ y \in \R^d ~|~ \rho(x, y) < \delta, \delta > 0 \}$$

同样可以定义去心邻域：

$$U^\circ (x_0;\delta) := \{ y \in \R^d ~|~ \rho(x, y) < \delta, x \ne y, \delta > 0 \}$$

邻域都是开集（即取不到边界），以上由普通内积作为度量定义的邻域的形状是$d$维 Euclid 空间中的一个开球。

点集

有了度量和邻域的概念，我们还需要引入点列的相关概念。

收敛点列

称点集$E$中的一个无穷点列$\{ x_n \}_{n=1}^\infty$收敛到$x_0$，如果$\forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时，有$\rho(x_n, x_0) < \varepsilon.$

一个收敛点列一定是有界的，即$\exists M > 0, \{ x_n \}_{n=1}^\infty \subset U(x_0, M)$；点列如果收敛，那必然只会收敛到一点，这一点称为该收敛点列的极限点。

聚点

称$x$为点集$E$的聚点或极限点，如果有$\forall r > 0, U(x;r) \cap (E-\{ x \})$，聚点不必在点集$E$中，例如$x$的任意一个去心邻域都以$x$为聚点，与聚点有关的定理是聚点定理。若$\exists r > 0, U(x;r) \subseteq E$，则它是$E$的内点，内点$x$一定是点集$E$的聚点。

如果$x$不是$E$的聚点：分为两种情况，若$x \in E$，称作点集$E$的孤立点；若$x \notin E$，称作点集$E$的外点。

若$x$既不是$E$的内点，也不是$E$的外点，称其为$E$的界点，与界点有关的定理是界点定理。所有界点共同组成了$E$的边界，记作$\partial E$。

习惯上我们把点集$E$的所有聚点组成的点集用$E'$表示。

闭集

若$E$的每一点都是它的内点，称$E$为开集，如果$E' \subseteq E$，则称$E$为闭集，$E$的边界都是闭集。

如果$E$的所有点都含于某个圆形区域中，就称$E$为有界集，反之为无界集。有界集大小的一个度量是有界集的直径，它被定义为$d(E) = \sup_{x, y \in E} | x - y |.$

区域

区域是度量空间即点集之后的又一个重要概念。

如果一个开集$E$中任意两点之间都可用一条全在$E$上的点组成的曲线（或直线）相连接，那么就称$E$为一个区域，一个区域连同所有的界点（或聚点）称为一个闭域，常用$\overline{E} := E \cap \partial E = E \cap E'$表示。

上下节

• 下一节：Euclid 空间中的基本定理

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.