在数学分析中,实数的完备性是由一组基本定理叙述的,而实数集可以认为是一维 Euclid 空间,当维数升高(依然是有限维)时,我们可以将实数的基本定理做推广。
需要指出,由于高维的 Euclid 空间不具有实数那样的序关系,因此单调有界定理和确界定理不能做推广,但其它都可以不同程度地推广。
Bolzano-Weierstrass 定理[]
又称聚点定理、致密性定理,在多元微积分和拓扑中常称为列紧性定理(因为它描述了度量空间的某种紧性),它是说
中的有界无穷点集一定有聚点(极限点),或等价地说,有界无穷点列存在收敛子列。
Cauchy 收敛准则[]
点列收敛的充要条件是,,当时有。
这指出我们可以在事先不清楚点列的极限时借助点列本身的特点来判断点列的敛散性。
闭集套定理[]
它是直线上区间套定理的推广:一个闭集族如果满足存在,当时且,那么一定有一个唯一的点
定理中闭集的条件不能改为开集,在二维中,该定理也形象地称为矩形套定理。
有限覆盖定理[]
设是上的有界闭集,若存在无限个开集覆盖:,那么一定可以选出有限个开集覆盖:
上下节[]
- 上一节:Euclid 空间点集
- 下一节:多元函数
参考资料
- 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN
978-7-0404-9718-2
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