Euclid 空间

我们在对称双线性度量空间以及内积的基础上建立更强性质的空间，即欧氏空间（Euclid 空间），它是实数域上的线性空间。

欧氏空间

一个定义在实数域$\R$上的对称双线性度量空间$(V;+,\cdot;\mathbb{R};f)$，如果其中的非奇异对称双线性函数是内积，我们就称这个空间是一个欧氏空间，或欧几里得空间，Euclid 空间（Euclid space），也叫做内积空间。

一般的直观几何空间带上普通意义下的内积（数量积）就是一个 Euclid 空间。

向量的长度

在$n$维 Euclid 空间$V$上，称$\sqrt{(\alpha, \alpha)}$为向量$\alpha$的长度，记为$|\alpha|$。

如果$|\alpha| = 1$，那么就称向量$\alpha$是单位向量（identity vector），对于任意的非零的$\beta$，向量$\frac{1}{|\beta|} \beta$就是和$\beta$同方向的单位向量，也记作$\frac{\beta}{|\beta|}$，我们把非零向量化为和它同向的单位向量的过程称为单位化（或标准化）。

和直观几何一样，向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小。

向量的夹角

在这之前，我们要知道一个 Cauchy-Bunjakovski 不等式： 在 Euclid 空间$V$上，成立如下不等式

$$\forall \alpha, \beta \in V, \quad |(\alpha, \beta)| \leqslant |\alpha|~|\beta|$$

取等号当且仅当$\alpha, \beta$线性相关。

借此来定义向量的夹角：在 Euclid 空间$V$上，$\theta \ne \alpha, \beta \in V$，那么定义两者的夹角

$$\langle \alpha, \beta \rangle = \arccos \frac{{\alpha, \beta}}{|\alpha|~|\beta|}, \quad 0 \leqslant \langle \alpha, \beta \rangle \leqslant \pi$$

这和我们在直观几何中感受的夹角的意义是相容的。

标准正交基

如果一组基底$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$在 Euclid 空间中满足如下条件，就称这组基是标准正交基（standard orthogonal basis）。

1. 正交基：$(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0,~~i,j = 1,2,\cdots,n,~~i \ne j$
2. 标准基：$(\varepsilon_i, \varepsilon_i) = 1,~~i = 1,2,\cdots,n$

容易证明，在$n$维欧几里得空间中必存在标准正交基。

参见基底标准正交化。

选定了一个 Euclid 空间后，通过标准正交化就找到对应于该空间中内积函数的一组标准正交基$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$，在这组基下，内积的度量矩阵就是$n$阶单位矩阵，而两个向量的内积运算结果就是把这两个向量在这组基底下的坐标对应的分量求积之后再求和即可。

Euclid 空间同构

像线性空间的同构那样，我们可以在 Euclid 空间之间建立同构关系。两个 Euclid 空间$V, V'$，称$V$到$V'$的同构映射$f$为$V$到$V'$的一个 Euclid 空间同构映射，如果

$$\forall \alpha, \beta \in V, (f(\alpha), f(\beta)) = (\alpha,\beta)$$

可以证明两个有限维 Euclid 空间同构当且仅当它们维数相等。

有了 Euclid 空间同构的概念，一些在二维或三维中相关的问题我们可以直接通过同构转化到平面或几何空间中证明了。

上下节

• 上一节：内积
• 下一节：向量到子空间的距离

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.