Euclid 变换

Euclid 变换或 Euclid 移动是一类特殊的二维 Euclid 平面的点集到同一平面上点集的可逆映射，它保持诸点之间的距离不变，因此是平面上的保距变换，即变换前后的图形是全等图形。Euclid 变换主要包含平移、旋转和对称等，注意 Euclid 变换未必是线性变换。

分量形式[]

图象的变换实际上是点的变换，这里以点的变换为例。将变换前的点记作 $(x,y)$ ，变换记作 $\phi$ ，变换后的点记作 $(x',y')$ 。

点 $(x,y)$ 向右平移 $a$ 个单位、向上平移 $b$ 个单位：

{\displaystyle \phi: \begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}}

点 $(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角度：

{\displaystyle \phi: \begin{cases} x'=x\cos \theta -y\sin \theta \\ y'=x\sin \theta +y\cos \theta \end{cases}}

在极坐标系中，对点绕原点的旋转是非常简单的，极径不变而改变极角。例如，极坐标为 $(\rho, \theta)$ 点 $A$ 绕原点逆时针旋转 $\alpha$ 角度后，得到新的点 $A'$ 的极坐标为 $(\rho, \theta + \alpha)$ 。

绕任意点的旋转是平移和绕原点的复合，例如点 $(x,y)$ 绕点 $(a,b)$ 逆时针旋转 $\theta$ 角度，我们可以先将坐标系平移到原点，然后旋转，最后在平移到原来的位置，即

\phi :{\begin{cases}x'=(x-a)\cos \theta -(y-b)\sin \theta +a\\y'=(x-a)\sin \theta +(y-b)\cos \theta +b\end{cases}}

点 $(x,y)$ 关于原点与 $x$ 轴夹角为 $\theta$ 的直线对称：
${\displaystyle \phi: \begin{cases} x'=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\ y'=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \end{cases}}$
点 $(x,y)$ 关于任意直线 $Ax + By + C = 0$ （称为反射轴）对称：
${\displaystyle \phi: \begin{cases} x' = x - 2A \frac {Ax+By+C} {A^2+B^2} \\ y' = y - 2B \frac {Ax+By+C} {A^2+B^2} \end{cases}}$

特殊情况：

对称轴	$x$ 轴	$y$ 轴	$x-y=0$	$x+y=0$
变换 $\phi:$	${\displaystyle \begin{cases} x'= x \\ y'= -y \end{cases}}$	${\displaystyle \begin{cases} x'= -x \\ y'= y \end{cases}}$	${\displaystyle \begin{cases} x'= y \\ y'= x \end{cases}}$	${\displaystyle \begin{cases} x'= -y \\ y'= -x \end{cases}}$

镜面反射是轴对称的另外一个名字，其中我们常说的“镜面”就是反射轴。

对一个点 $(x,y)$ 关于点 $(a,b)$ 的中心对称：

\phi :{\begin{cases}x'=2a-x\\y'=2b-y.\end{cases}}

中心对称就是绕对称中心旋转180度。

以二维平面中的变换为例，下面的三种都可以用相应的变换矩阵完成变换，且都是 $\mathbb R^{3}$ 上的线性映射（注意不是 $\mathbb R^{2}$ ）。

变换类型	变换 $\phi:$
绕原点旋转	${\displaystyle \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}}$
平移	${\displaystyle \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & b_1 \\ 0 & 1 & b_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}}$
轴对称	${\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}=-{\dfrac {1}{A^{2}+B^{2}}}{\begin{pmatrix}A^{2}-B^{2}&2AB&2AC\\2AB&-(A^{2}-B^{2})&2BC\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$
中心对称	${\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0&2a\\0&-1&2b\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$

这四类变换对应的矩阵的行列式是 $\pm 1$ ，我们把行列式值为 $1$ 对应的变换称为是第一类的，如旋转、平移和中心对称，否则称为是第二类的，如轴对称。

平面上的 Euclid 变换在映射的复合下构成一非交换群，这个群同构于 $\mathbb {R} ^{3\times 3}$ 上如上四类生成子生成的矩阵乘法群，它是仿射变换群的正规子群，参见特殊欧氏群。

对图像的 Euclid 变换可以分解为若干镜面反射的乘积，且第一类变换是偶数个镜面反射的乘积而第二类是奇数个镜面反射的乘积。但是由于行列式符号不同，非单点的轴对称可不经由平移和旋转得到。