Enneper 曲面

在空间几何中，三维空间的 Enneper 曲面是一类完备的极小曲面。

Enneper 曲面，图中突出了它的亏格。

曲面缩小动画

概念

以参数形式

$$\boldsymbol{r}(u, v) = (3u+3uv^2-u^3, -3v-3u^2v+v^3, 3(u^2-v^2))$$

表达的曲面称为 Enneper 曲面。它是一种代数曲面。

性质

1. 曲面的第一基本形式：$9(1+u^2+v^2)^2(\mathrm{d}u^2+\mathrm{d}v^2).$
2. 曲面的第二基本形式：$6(\mathrm{d}v^2-\mathrm{d}u^2).$
3. 主曲率：$k_{1,2} = \pm \dfrac{2}{3(1+u^2+v^2)^2}.$
4. Gauss 曲率：$K(u,v) = -\dfrac{4}{9(1+u^2+v^2)^4}.$因此是常负 Gauss 曲率曲面。
5. 平均曲率：$H(u, v) = 0.$因此是常平均曲率曲面。
6. 参数网$(u, v)$是正交等温参数网。
7. 作 Gauss 映射$g: S \to S^2$，注意到$g \circ \boldsymbol{r}$是球极投影，因此该曲面可以和球面去掉一点建立一一映射。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.