Egorov 定理

Egorov 定理（叶戈洛夫定理，Егоров 定理）是实变函数和测度论中关于可测函数列收敛性的一个命题。

近一致收敛

假设有测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的可测集$E$，及其上几乎处处有限的函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$满足：对任意的$\delta > 0$，存在正测集$E_\delta \subseteq E, m(E_\delta) \leqslant \delta$使得函数列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$E - E_\delta$上一致收敛于$f(x).$我们就称$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$E$上近一致收敛于$f(x).$这种性质称为近一致收敛性（almost uniform convergence）。

数学分析中定义的一致收敛的函数序列显然是近一致收敛的。以下是刻画几乎处处收敛和一致收敛的著名的 Egorov 定理。

定理内容

假设有测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$，可测集$E$（满足$\mu(E) < +\infty$）上几乎处处有限的可测函数序列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$，如果在$E$上几乎处处收敛于$f(x)$，那么它也在$E$上近一致收敛于$f(x).$

其逆命题是平凡的。不能将命题的结论减弱为“几乎处处一致收敛”，也不能将条件中“$\mu(E) < +\infty$”去掉。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.