Eberlein-Schmulyan 定理

Eberlein-Schmulyan 定理是一个泛函分析中有关自反空间的一个定理，它表明一个 Banach 空间是自反的当且仅当其中的有界闭集是弱序列紧的。

内容

假设$X$是 Banach 空间，那么$X$是自反空间当且仅当对任意有界序列$\{ x_k \}$，它都有弱收敛子列。

证明

必要性：假设$X$自反，

1. 假设$$M = \overline{\text{span}\{ x_n: n \in \N\}}.$$
2. $M$是$X$的闭子空间，因此$M$是自反的，根据角谷定理$M$中单位球$B_M$是弱紧的。
3. $\{ x_n \}$的所有有理数系数的有限线性组合组成的集合在$M$中稠密，因此$M$可分。可分空间中有一个性质：如果一个 Banach 空间$M$的共轭空间$M^*$可分，那么$M$也可分，注意$M$自反，那么$M^{**} = M$可分蕴含$M^*$可分。
4. 可分空间还有一个性质：Banach 空间$M$的共轭空间$M^*$如果可分，那么$M$中的单位球$B_M$在弱拓扑下是可度量化的。
5. $B_M$的弱拓扑可度量化，这就表明对其上由弱拓扑导出的度量而言，其弱紧性和弱序列紧性等价，这就说明存在子列$\{ x_m \}$弱收敛。

充分性证明较为复杂，我们略去证明。

推论

在自反空间$X$中，一个集合的弱序列紧性和有界性等价。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

我们只需要证明$S \subset X$弱序列紧性蕴含有界性，用反证法，假设结论不真，那么存在无界的弱序列紧的序列$\{ x_n \} \subset X$，不妨假设$\|x_{n}\|>n$，而由弱序列紧性得到有弱收敛的子列$\{x_{n_k}\}$，这样对任意非零连续线性泛函$f \in X^*$而言，$\{f(x_{n_{k}})\}$作为数列是有界的，根据一致有界原理就得到$\{\|x_{n_{k}}\|\}$有界，和无界性质矛盾。

参考资料

1. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.