Dupin 標線

在微分幾何中，Dupin 標線是描述一個三維空間中正則曲面的局部形狀的工具。

定義

假設有（正則）曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$及其上一點$P(u_0, v_0) = \boldsymbol{r}(u_0, v_0)$，過這一點有曲面的一個單位法向量$\boldsymbol{n}$，在所考慮的點$P$的切平面$T_P S$上做一條曲線，曲線的中心為$P$且曲線上的點$N$和$P$的距離為$|PN| = \sqrt{\dfrac{1}{|k_\boldsymbol{n}|}}$，這條曲線稱為 Dupin 標線，曲線上離點$P$越近的點對應的連線確定的方向上法曲率越大，曲面在這個方向上越彎曲。

方程

假設$P$上方向向量為$\boldsymbol{t} = x \boldsymbol{r}_u + y \boldsymbol{r}_v$對應的 Dupin 標線上的點為$N = (x, y)$，那麼由$|PN| = \sqrt{\dfrac{1}{|k_\boldsymbol{n}|}}$可得 $$E x^2 + 2F xy + G y^2 = \dfrac{E x^2 + 2F xy + G y^2}{|L x^2 + 2M xy + N y^2|}.$$ 因此$N$的方程為 $$L x^2 + 2M xy + N y^2 = \pm 1.$$ 它是二次曲線。

切點分類

按照二次曲線的形狀我們可以對切點$P$分類。可以配合使用二次型理論對$q(x, y) = L x^2 + 2M xy + N y^2$分析。

1. $LN-M^2 > 0$，$q(x, y)$正定，$P$稱為橢圓點，Dupin 標線是橢圓。
2. $LN-M^2 < 0$，$q(x, y)$負定，$P$稱為雙曲點，Dupin 標線是雙曲線。
3. $LN-M^2 = 0, L,M,N$不同時為零，$q(x, y)$的秩為1，$P$稱為拋物點，Dupin 標線是退化的二次曲線。
4. $L,M,N$同時為零，$q(x, y)$的秩為零，$P$稱為平點，Dupin 標線不存在。

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.