在微分几何中,Dupin 标线是描述一个三维空间中正则曲面的局部形状的工具。
定义[]
假设有(正则)曲面及其上一点,过这一点有曲面的一个单位法向量,在所考虑的点的切平面上做一条曲线,曲线的中心为且曲线上的点和的距离为,这条曲线称为 Dupin 标线,曲线上离点越近的点对应的连线确定的方向上法曲率越大,曲面在这个方向上越弯曲。
方程[]
假设上方向向量为对应的 Dupin 标线上的点为,那么由可得
因此的方程为
它是二次曲线。
切点分类[]
按照二次曲线的形状我们可以对切点分类。可以配合使用二次型理论对分析。
- ,正定,称为椭圆点,Dupin 标线是椭圆。
- ,负定,称为双曲点,Dupin 标线是双曲线。
- 不同时为零,的秩为1,称为抛物点,Dupin 标线是退化的二次曲线。
- 同时为零,的秩为零,称为平点,Dupin 标线不存在。
参考资料
- 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN
978-7-0405-6950-6
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