Dirichlet 级数

级数理论中，Dirichlet 级数是一个非常著名的函数项级数。

定义

设有实数列$\{ a_n \}_{n=1}^\infty$，那么称如下函数项级数

$$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^x}$$

为 Dirichlet 级数。特别地，当$a_n = 1$时为 Riemann ζ 函数。

收敛性

若存在$x_1, x_2 \in \R$，使得级数在$x_1$处发散，在$x = x_2$处收敛。则存在$r \in \R$，使得$x > r$时级数收敛，$x < r$时级数发散。

设数项级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛，Dirichlet 级数$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^x}$连续于$[0, + \infty)$，且$f(x)$在$[0, + \infty)$上无穷可微。

其证明见 Practice:数学分析/T210612004。

Dirichlet 卷积

设有两个 Dirichlet 级数$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^x}, \sum_{n=1}^\infty \dfrac{b_n}{n^x}$，按照 Cauchy 乘积法则，那么

$$\left( \sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^x} \right) \left( \sum_{n=1}^\infty \dfrac{b_n}{n^x} \right) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{c_n}{n^x}.$$

其中$c_n = a_n * b_n := \sum_{d:d|n} a_d b_{\frac{n}{d}} = \sum_{n=lm} a_l b_m$为 Dirichlet 卷积。一些数论函数的这种级数收敛时求和会得到 Riemann ζ 函数，详见 Euler 恒等式。

复变情形

若有复数列$\{ a_n \}_{n=1}^\infty$及单调递增发散到无穷的复数列$\{ \lambda_n \}_{n=1}^\infty$，定义如下函数

$$D(z) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{\text{e}^{\lambda_n z}}$$

它有如下性质：

• 若级数在点$z_0$处收敛，则该级数在$\operatorname{Re} z > \operatorname{Re} z_0$的半平面上内闭一致收敛，同时若点$z_0$处绝对收敛，则该级数在$\operatorname{Re} z > \operatorname{Re} z_0$的半平面上绝对一致收敛。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.