Dirichlet 积分

在分析学中，Dirichlet 积分是如下形式的无穷限积分

$$\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$$

它是条件收敛的，且收敛到$\dfrac{\pi}{2}.$ 该问题是在研究数学摆的阻尼振动模型中引出的。对它的求解可依靠经典的分析方法或留数理论进行。

函数$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$的不定积分是没有初等表示方法的，因此上述积分不能通过一般的原函数法来求解。

推广

设常数$a, b \in \R, a \ne 0$，那么有

$$\int_0^{+\infty} \dfrac{\sin bx}{x\text{e}^{ax}}\mathrm{d}x = \arctan \dfrac{b}{a}.$$

相关问题

1. 函数$y = \dfrac{\sin x}{x}$是二阶齐次线性常微分方程
   $$y'' + \dfrac{2}{x} y' + y = 0$$
   的一个特解，其通解为
   $$y = c_1\dfrac{\sin x}{x} + c_2 \dfrac{\cos x}{x}.$$
2. 二次积分
   $$I = \int_0^1 \mathrm{d}y \int_{x^2}^1 \dfrac{y\sin x}{x} \mathrm{d}x$$
   作为$\dfrac{y \sin x}{x}$的二重积分时表示的积分区域
   $$D = \{ 0 \leqslant y \leqslant 1, y^2 \leqslant x \leqslant 1 \} = \{ 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x} \}$$
   于是上述积分
   $$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^{\sqrt{x}} \dfrac{y \sin x}{x} \mathrm{d}y = \int_0^1 \left( \dfrac{1}{2} \dfrac{\sin x}{x} y^2 \bigg|_0^{\sqrt{x}} \right) \mathrm{d}x = \dfrac{1 - \cos 1}{2}.$$
3. $\lim_{n \to \infty} \prod_{n=1}^n \cos \dfrac{x}{2^n} = \dfrac{\sin x}{x}.$
4. 使用分部积分法可以得到$\int_0^{+\infty} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^2 \mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2}.$
5. 运用$L^p$空间的 Fourier 变换性质（Hausdorff-Young 不等式）可得$\int_0^\infty \left| \dfrac{\sin x}{x} \right|^n \mathrm{d}x \leqslant \dfrac{\pi}{\sqrt{2n}}, n \in \N, n > 1.$

参见

• 无穷限积分
• Poisson 积分
• Fresnel 积分
• Frullani 积分
• Laplace 积分
• Euler 积分
• Lobatchevski 积分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.