Dirichlet 函数

Dirichlet 函数（狄利克雷函数）是一个分析中常见的“病态”函数，它常作为很多假命题的反例，本质上来讲，它是定义在$\R$上的有理集合的特征函数。

定义

设函数$D(x)$定义在$\R$上，它按照如下方式定义

$$D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \Q, \\ 0, & x \notin \Q. \end{cases}$$

我们就称这样的一个函数是 Dirichlet 函数，它是有理数集的特征函数，进而$1 - D(x)$为无理数集的特征函数。

它还可以用如下极限定义：

$$D(x) = \lim_{n \to \infty} \left( \lim_{m \to \infty} \cos^{2m} (n! \pi x) \right).$$

性质

1. 周期性：它是没有最小正周期的周期函数，任意有理数都是它的周期；
2. 奇偶性：偶函数；
3. 对称轴：任意与$y$轴平行的线；
4. 单调性：无处单调；
5. 连续性：处处不连续，每一点都是第二类间断点，但它在有理点处是对称连续的；
6. 可微性：处处不可微。
7. 可积性：黎曼不可积，勒贝格可积。

相关命题

1. 仅在一点连续（但不可微）的函数：可构造$xD(x)$，它仅在$x = 0$处连续。
2. 仅在一点可微（但不二阶可微）的函数：可构造$x^2D(x)$，它仅在$x = 0$处可微。
3. 仅在有限点连续的函数：可构造$(x-a_1)(x-a_2) \cdots (x-a_n) D(x)$，它仅在$x = a_i, i = 1,2,\cdots, n$处连续。
4. 处处不连续，但其绝对值处处连续：构造$2 D(x) - 1.$
5. 不能作为任何连续函数列的极限函数的函数：$f(x) = D(x), x \in [0, 1].$
6. 复合函数的连续性、可微性以及可积性，一些反例是由 Dirichlet 函数给出的。
7. 使数列极限$\lim_{n \to \infty} n \left[ f \left( x + \dfrac{1}{n} \right) - f(x) \right]$存在，但不可微的函数：$D(x).$若换为函数极限，则是可导的充要条件。
8. 自身黎曼不可积但绝对值可积的函数：构造$2 D(x) - 1.$