Dini 导数

在实变函数论中，Dini 导数（迪尼导数）是研究 Lebesgue 积分意义下导数的重要工具。

概念

设一元实可测函数$f$在$x = x_0$的一个邻域上有定义，那么定义以下四个量

$$\begin{align} & D^+ f(x_0) = \limsup_{h \to 0^+} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, & \quad & D^- f(x_0) = \limsup_{h \to 0^-} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \\ & D_+ f(x_0) = \liminf_{h \to 0^+} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, & \quad & D_- f(x_0) = \liminf_{h \to 0^-} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \\ \end{align}$$

为该函数在$x_0$处的 Dini 右上、左上、右下和左下导数。

显然$f'^+(x_0)$存在当且仅当$D^+ f(x_0), D_+ f(x_0)$存在且相等；$f'^-(x_0)$存在当且仅当$D^- f(x_0), D_- f(x_0)$存在且相等，$f'(x_0)$存在当且仅当以上四个 Dini 导数均存在且相等。

Lebesgue 定理

定义在区间$[a, b]$上的单调递增函数$f(x)$几乎处处可微，且

$$(L)\int_a^b f'(x) \mathrm{d}x \leqslant f(b) - f(a).$$

这一结论不能改为处处可微。

Fubini 逐项微分定理

设$\{ f_n (x) \}_{n=1}^\infty$是$[a, b] \subseteq \R$递增可测函数列且级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$收敛，那么有

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sum_{n=1}^\infty f_n(x) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_n(x), \quad \text{a.e.} x \in [a, b].$$

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.