Dedekind 分割

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Dedekind 分割（戴德金分割、戴德金分劃）是一個建立實數完備性的理論。它的目標是構造一個「實數集」，使它能和直線上的點一一對應，而這種構造方式可以形象地理解為將代表實數軸的直線從任意一個位置切開，使得切點所代表的數要麼是左端直線的最大數，要麼是右端直線的最小數，亦即切點總代表一個實數。

戴德金分割

將實數分為兩大類 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf {A'}$，如果滿足條件：

1. $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf {A'}$非空，且 $\mathbf {A} \cap \mathbf {A'} = \varnothing$；
2. $x \in \R$，都有 $x \in \mathbf {A}$ 或 $x \in \mathbf {A'}$；
3. 如果 $a \in \mathbf {A} , a' \in \mathbf {A'}$，則 $a < a'$；

那麼，這樣的分拆叫做實數域的一個分劃，記為 $\mathbf {A} | \mathbf {A'}$，$\mathbf{A}$ 叫做分劃的下類，$\mathbf {A'}$ 叫做分劃的上類。

戴德金原理

Dedekind 分割（戴德金分劃基本定理）：對於實數域上的任何一個分劃 $\mathbf {A} | \mathbf {A'}$，總會有一個實數 $\alpha$，使得 $\alpha$ 是下類 $\mathbf{A}$ 的最大數或者上類 $\mathbf {A'}$ 的最小數。這等價於對於實數域上的任何一個分劃 $\mathbf {A} | \mathbf {A'}$，總會有一個實數 $\alpha$，使得

$$x \leqslant \alpha \leqslant y, ~ \forall x \in \mathbf{A}, y \in \mathbf{A'}.$$

證明

通過實數樸素定義（無限小數公理）可以證明戴德金原理。

應用

它可以證明實數完備性的其他等價定理，例如確界定理。

參考資料

1. 華東師範大學數學科學學院, 《數學分析（上）（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2019-05, ISBN 978-7-0405-0694-5.